Вариант 2, страница 21 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тесты для самоконтроля. ТС-12. Движение тел в гравитационном поле - страница 21.

Условие.

Вариант 3

1. Чему равен модуль ускорения, с которым движется по круговой орбите искусственный спутник вблизи поверхности Земли?

А. 0.

Б. Немного меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли.

В. Много меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли.

2. Телу, находящемусяся на поверхности Земли, сообщили скорость, равную 12 км/с. По какой орбите будет двигаться тело?

А. По круговой.

Б. По эллиптической.

В. По гиперболической траектории тело удалится от Земли.

3. Какова вторая космическая скорость для планеты, имеющей такую же массу, как у Земли, но вдвое больший радиус?

А. 15,7 км/с.

Б. 7,9 км/с.

В. 11,2 км/с.

4. Во сколько раз период обращения искусственного спутника Земли, движущегосяся по круговой орбите радиусом $2R$, больше периода обращения спутника, движущегося по орбите радиусом $\text{R}$?

А. В $2\sqrt{2}$ раз.

Б. В 2 раза.

В. В 4 раза.

5. Какова скорость движения Луны по орбите вокруг Земли? Среднее расстояние от Луны до Земли составляет 384 000 км. Масса Земли равна $6 \cdot 10^{24}$ кг.

А. 4 км/с.

Б. 5 км/с.

В. 1 км/с.

Решение.

1. Искусственный спутник, движущийся по круговой орбите, испытывает только силу гравитационного притяжения Земли. Эта сила сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, это ускорение равно $a = F/m$, где $\text{F}$ – сила тяжести, а $\text{m}$ – масса спутника. Сила тяжести на высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли определяется по формуле $F = G\frac{Mm}{(R_З+h)^2}$, где $\text{M}$ – масса Земли, $R_З$ – радиус Земли. Таким образом, ускорение спутника равно $a = G\frac{M}{(R_З+h)^2}$.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли равно $g = G\frac{M}{R_З^2}$.

Поскольку спутник находится "вблизи поверхности Земли", его высота $\text{h}$ мала по сравнению с радиусом Земли ($h \ll R_З$), но все же $h > 0$. Следовательно, знаменатель $(R_З+h)^2$ немного больше, чем $R_З^2$. Это означает, что ускорение спутника $\text{a}$ будет немного меньше, чем ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности.

Ответ: Б. Немного меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли.

2. Тип траектории тела в гравитационном поле зависит от его начальной скорости. Существуют характерные скорости, называемые космическими скоростями.

Первая космическая скорость для Земли (скорость, необходимая для выхода на круговую орбиту у поверхности) составляет примерно $v_1 \approx 7.9$ км/с.

Вторая космическая скорость для Земли (скорость, необходимая для преодоления гравитационного притяжения Земли, или скорость убегания) составляет примерно $v_2 \approx 11.2$ км/с.

Телу сообщили скорость $v = 12$ км/с. Сравним эту скорость с космическими скоростями:

• Если $v = v_1$, траектория – окружность.
• Если $v_1 < v < v_2$, траектория – эллипс.
• Если $v = v_2$, траектория – парабола.
• Если $v > v_2$, траектория – гипербола.

Поскольку $12 \text{ км/с} > 11.2 \text{ км/с}$, то есть $v > v_2$, тело имеет достаточную кинетическую энергию, чтобы преодолеть притяжение Земли и удалиться от нее по незамкнутой траектории. Такой траекторией является гипербола.

Ответ: В. По гиперболической траектории тело удалится от Земли.

3. Дано:

Масса планеты: $M_п = M_З$
Радиус планеты: $R_п = 2R_З$
Вторая космическая скорость для Земли: $v_{2З} \approx 11.2$ км/с

Найти:

Вторую космическую скорость для планеты $v_{2п}$.

Решение:

Вторая космическая скорость (скорость убегания) для любого небесного тела вычисляется по формуле: $v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$, где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $\text{M}$ – масса тела, $\text{R}$ – его радиус.

Для Земли эта формула имеет вид: $v_{2З} = \sqrt{\frac{2GM_З}{R_З}}$.

Для рассматриваемой планеты, с учетом ее массы $M_п = M_З$ и радиуса $R_п = 2R_З$, формула будет выглядеть так: $v_{2п} = \sqrt{\frac{2GM_п}{R_п}} = \sqrt{\frac{2GM_З}{2R_З}} = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2GM_З}{R_З}}$.

Отсюда мы видим, что $v_{2п} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\frac{2GM_З}{R_З}} = \frac{v_{2З}}{\sqrt{2}}$.

Подставим известное значение второй космической скорости для Земли: $v_{2п} = \frac{11.2 \text{ км/с}}{\sqrt{2}} \approx \frac{11.2 \text{ км/с}}{1.414} \approx 7.9$ км/с.

Ответ: Б. 7,9 км/с.

4. Дано:

Радиус орбиты первого спутника: $r_1 = R$
Радиус орбиты второго спутника: $r_2 = 2R$

Найти:

Отношение периодов обращения $\frac{T_2}{T_1}$.

Решение:

Для тела, движущегося по круговой орбите, период обращения связан с радиусом орбиты третьим законом Кеплера. Выведем это соотношение. Гравитационная сила равна центростремительной силе: $G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$, где $\text{v}$ – орбитальная скорость.

Отсюда $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.

Период обращения $\text{T}$ равен длине орбиты, деленной на скорость: $T = \frac{2\pi r}{v}$.

Подставим выражение для скорости: $T = \frac{2\pi r}{\sqrt{GM/r}} = \frac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{GM}}$.

Из этой формулы видно, что $\text{T}$ пропорционально $r^{3/2}$.

Запишем это соотношение для двух спутников: $T_1 = C \cdot r_1^{3/2} = C \cdot R^{3/2}$
$T_2 = C \cdot r_2^{3/2} = C \cdot (2R)^{3/2}$, где $C = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}$ – константа.

Найдем отношение периодов: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{C \cdot (2R)^{3/2}}{C \cdot R^{3/2}} = \left(\frac{2R}{R}\right)^{3/2} = 2^{3/2}$.

Упростим выражение: $2^{3/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2\sqrt{2}$.

Таким образом, период обращения второго спутника в $2\sqrt{2}$ раз больше, чем у первого.

Ответ: А. В $2\sqrt{2}$ раз.

5. Дано:

Среднее расстояние от Луны до Земли: $r = 384 \, 000$ км
Масса Земли: $M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг
Гравитационная постоянная: $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

$r = 384 \, 000 \text{ км} = 384 \cdot 10^3 \text{ м} = 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}$

Найти:

Скорость движения Луны $\text{v}$.

Решение:

Будем считать орбиту Луны круговой. В этом случае гравитационная сила, действующая на Луну со стороны Земли, сообщает ей центростремительное ускорение. $F_г = F_ц$

$G\frac{M_З m_Л}{r^2} = m_Л \frac{v^2}{r}$, где $m_Л$ – масса Луны.

Масса Луны сокращается, и мы получаем формулу для orbitalной скорости: $v^2 = \frac{GM_З}{r}$
$v = \sqrt{\frac{GM_З}{r}}$

Подставим числовые значения в системе СИ: $v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{3.84 \cdot 10^8}}$

$v = \sqrt{\frac{40.02 \cdot 10^{13}}{3.84 \cdot 10^8}} = \sqrt{10.42 \cdot 10^5} = \sqrt{1.042 \cdot 10^6}$

$v \approx 1.02 \cdot 10^3$ м/с.

Переведем скорость в километры в секунду: $v \approx 1.02$ км/с.

Это значение наиболее близко к 1 км/с.

Ответ: В. 1 км/с.