Вариант 1, страница 20 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

ТС-12. Движение тел в гравитационном поле. Тесты для самоконтроля - страница 20.

Условие.

ТС-12. Движение тел в гравитационном поле

Вариант 1

1. Каково направление ускорения искусственного спутника Земли при движении по круговой орбите?

А. По направлению скорости спутника.

Б. К центру Земли.

В. Против направления скорости спутника.

2. Телу, находящемусяся на поверхности Земли, сообщили скорость, равную 9 км/с. По какой орбите будет двигаться тело?

А. По круговой.

Б. По эллиптической.

В. По гиперболической траектории тело удалится от Земли.

3. Какова первая космическая скорость для планеты, имеющей такую же массу, как у Земли, но вдвое меньший радиус?

А. 5,6 км/с.

Б. 7,9 км/с.

В. 11,2 км/с.

4. Найдите отношение периодов обращения спутника, движущегосяся вблизи поверхности Земли, и спутника, радиус орбиты которого в 4 раза больше радиуса Земли.

А. 1/4.

Б. 1.

В. 1/8.

5. Чему равна масса Солнца, если средняя скорость движения Земли по орбите составляет 30 км/с, а радиус орбиты Земли $1,5 \cdot 10^8$ км.

А. $2 \cdot 10^{30}$ кг.

Б. $4 \cdot 10^{20}$ кг.

В. $2 \cdot 10^{40}$ кг.

Решение.

1. Каково направление ускорения искусственного спутника Земли при движении по круговой орбите?

Решение:

При движении спутника по круговой орбите вокруг Земли на него действует только одна сила — сила гравитационного притяжения, которая направлена к центру Земли. Согласно второму закону Ньютона ($ \vec{F} = m\vec{a} $), вектор ускорения тела совпадает по направлению с вектором равнодействующей силы. Следовательно, ускорение спутника, которое в данном случае является центростремительным, также направлено к центру Земли, то есть перпендикулярно вектору скорости.

Ответ: Б. К центру Земли.

2. Телу, находящемуся на поверхности Земли, сообщили скорость, равную 9 км/с. По какой орбите будет двигаться тело?

Решение:

Форма траектории тела в гравитационном поле определяется его начальной скоростью. Необходимо сравнить заданную скорость с первой ($v_1$) и второй ($v_2$) космическими скоростями для Земли.

Первая космическая скорость (скорость, необходимая для движения по круговой орбите у поверхности Земли) составляет $v_1 \approx 7,9$ км/с.

Вторая космическая скорость (скорость, необходимая для преодоления гравитационного притяжения Земли, или скорость убегания) составляет $v_2 \approx 11,2$ км/с.

Заданная скорость тела $v = 9$ км/с. Поскольку $v_1 < v < v_2$ (то есть $7,9 \text{ км/с} < 9 \text{ км/с} < 11,2 \text{ км/с}$), тело останется спутником Земли, но его орбита будет не круговой, а эллиптической.

Ответ: Б. По эллиптической.

3. Какова первая космическая скорость для планеты, имеющей такую же массу, как у Земли, но вдвое меньший радиус?

Дано:

$M_п = M_З$ (масса планеты равна массе Земли)
$R_п = R_З / 2$ (радиус планеты вдвое меньше радиуса Земли)
$v_{1З} \approx 7,9$ км/с (первая космическая скорость для Земли)

Найти:

$v_{1п}$ — первая космическая скорость для планеты.

Решение:

Первая космическая скорость вычисляется по формуле $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса центрального тела, $\text{R}$ — радиус орбиты (для движения у поверхности равен радиусу планеты).

Для Земли: $v_{1З} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$.

Для новой планеты: $v_{1п} = \sqrt{\frac{GM_п}{R_п}}$.

Подставим данные для планеты в формулу:

$v_{1п} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З/2}} = \sqrt{2 \cdot \frac{GM_З}{R_З}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}} = v_{1З} \cdot \sqrt{2}$.

Рассчитаем значение:

$v_{1п} \approx 7,9 \text{ км/с} \cdot \sqrt{2} \approx 7,9 \text{ км/с} \cdot 1,414 \approx 11,17$ км/с.

Полученное значение наиболее близко к 11,2 км/с.

Ответ: В. 11,2 км/с.

4. Найдите отношение периодов обращения спутника, движущегося вблизи поверхности Земли, и спутника, радиус орбиты которого в 4 раза больше радиуса Земли.

Дано:

$R_1 \approx R_З$ (радиус орбиты первого спутника)
$R_2 = 4 R_З$ (радиус орбиты второго спутника)

Найти:

$\frac{T_1}{T_2}$ — отношение периодов обращения.

Решение:

Согласно третьему закону Кеплера, для двух тел, вращающихся вокруг одного центрального тела, квадраты периодов их обращения относятся как кубы больших полуосей их орбит. Для круговых орбит это соотношение выглядит так:

$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$

Подставим в формулу заданные радиусы орбит:

$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{(R_З)^3}{(4R_З)^3} = \frac{R_З^3}{64R_З^3} = \frac{1}{64}$

Чтобы найти отношение периодов, извлечём квадратный корень из обеих частей равенства:

$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$

Ответ: В. 1/8.

5. Чему равна масса Солнца, если средняя скорость движения Земли по орбите составляет 30 км/с, а радиус орбиты Земли $1,5 \cdot 10^8$ км.

Дано:

$v = 30$ км/с
$R = 1,5 \cdot 10^8$ км
$G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

$v = 30 \text{ км/с} = 30 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 3 \cdot 10^4 \text{ м/с}$
$R = 1,5 \cdot 10^8 \text{ км} = 1,5 \cdot 10^8 \cdot 10^3 \text{ м} = 1,5 \cdot 10^{11} \text{ м}$

Найти:

$M_С$ — масса Солнца.

Решение:

Приближенно считая орбиту Земли круговой, можно утверждать, что гравитационная сила притяжения Земли к Солнцу создаёт центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности. Запишем второй закон Ньютона:

$F_{тяг} = m_З a_ц$

где $F_{тяг} = G \frac{M_С m_З}{R^2}$ — сила тяготения, $a_ц = \frac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение, $m_З$ — масса Земли.

$G \frac{M_С m_З}{R^2} = m_З \frac{v^2}{R}$

Сократив массу Земли $m_З$ и радиус $\text{R}$, получим выражение для массы Солнца $M_С$:

$M_С = \frac{v^2 R}{G}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$M_С = \frac{(3 \cdot 10^4 \text{ м/с})^2 \cdot (1,5 \cdot 10^{11} \text{ м})}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}} = \frac{9 \cdot 10^8 \cdot 1,5 \cdot 10^{11}}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг}$

$M_С = \frac{13,5 \cdot 10^{19}}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг} \approx 2,02 \cdot 10^{30} \text{ кг}$

Это значение соответствует варианту А.

Ответ: А. $2 \cdot 10^{30}$ кг.