Вариант 2, страница 24 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тесты для самоконтроля. ТС-14. Релятивистская механика - страница 24.

Условие.

Вариант 3

1. Во сколько раз замедляется время в ракете при ее движении относительно Земли со скоростью 150 000 км/с?

А. В 1,16 раза.

Б. В 2 раза.

В. В 3 раза.

2. Какой промежуток времени пройдет на звездолете, движущемся относительно Земли со скоростью, равной 0,4 скорости света, за 25 земных лет?

А. 20 лет.

Б. 23 года.

В. 15 лет.

3. Две частицы удаляются друг от друга со скоростью $0,8c$ относительно земного наблюдателя. Какова относительная скорость частиц?

А. $0,976c$.

Б. $0,862c$.

В. $0,732c$.

4. Чему равна энергия покоя нейтрона? Масса покоя нейтрона равна $m_n = 1,675 \cdot 10^{-27}$ кг.

А. 851 МэВ.

Б. 526 МэВ.

В. 939 МэВ.

5. Какому изменению массы соответствует изменение энергии на 4,19 Дж?

А. $9,6 \cdot 10^{-17}$ кг.

Б. $4,65 \cdot 10^{-17}$ кг.

В. $2,3 \cdot 10^{-17}$ кг.

Решение.

1. Дано:

Скорость ракеты, $v = 150 000 \text{ км/с}$

Скорость света, $c \approx 300 000 \text{ км/с}$

Найти:

Во сколько раз замедляется время, $\gamma = \frac{\Delta t}{\Delta t_0}$ - ?

Решение:

Замедление времени в специальной теории относительности описывается лоренц-фактором $\gamma$. Отношение промежутка времени $\Delta t$ в неподвижной системе отсчета (Земля) к промежутку времени $\Delta t_0$ в движущейся системе отсчета (ракета) равно лоренц-фактору:

$\gamma = \frac{\Delta t}{\Delta t_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Сначала найдем отношение скорости ракеты к скорости света:

$\frac{v}{c} = \frac{150 000 \text{ км/с}}{300 000 \text{ км/с}} = 0.5$

Теперь подставим это значение в формулу для лоренц-фактора:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.5)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.25}} = \frac{1}{\sqrt{0.75}} \approx \frac{1}{0.866} \approx 1.1547$

Округляя, получаем, что время в ракете замедляется примерно в 1,16 раза по сравнению с земным временем.

Ответ: А. В 1,16 раза.

2. Дано:

Скорость звездолета, $v = 0.4c$

Промежуток времени на Земле, $\Delta t = 25 \text{ лет}$

Найти:

Промежуток времени на звездолете, $\Delta t_0$ - ?

Решение:

Связь между промежутком времени в неподвижной системе отсчета ($\Delta t$) и в движущейся ($\Delta t_0$) дается формулой замедления времени:

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Отсюда выразим $\Delta t_0$:

$\Delta t_0 = \Delta t \cdot \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Подставим известные значения:

$\frac{v}{c} = 0.4$, поэтому $(\frac{v}{c})^2 = 0.16$.

$\Delta t_0 = 25 \cdot \sqrt{1 - 0.16} = 25 \cdot \sqrt{0.84} \approx 25 \cdot 0.9165 \approx 22.91$ лет.

Наиболее близкий вариант ответа — 23 года.

Ответ: Б. 23 года.

3. Дано:

Скорость первой частицы относительно наблюдателя, $v_1 = 0.8c$

Скорость второй частицы относительно наблюдателя, $v_2 = -0.8c$ (движется в противоположную сторону)

Найти:

Относительная скорость частиц, $v_{отн}$ - ?

Решение:

Для нахождения относительной скорости двух объектов, движущихся с релятивистскими скоростями, используется релятивистский закон сложения скоростей. Скорость второй частицы в системе отсчета, связанной с первой частицей, вычисляется по формуле:

$v_{отн} = \frac{v_1 - v_2}{1 - \frac{v_1 v_2}{c^2}}$

Пусть первая частица движется в положительном направлении ($v_1 = 0.8c$), а вторая — в отрицательном ($v_2 = -0.8c$).

$v_{отн} = \frac{0.8c - (-0.8c)}{1 - \frac{(0.8c)(-0.8c)}{c^2}} = \frac{1.6c}{1 - (-0.64)} = \frac{1.6c}{1 + 0.64} = \frac{1.6c}{1.64}$

$v_{отн} = \frac{1.6}{1.64}c \approx 0.9756c$

Округляя результат до тысячных, получаем 0,976c.

Ответ: А. 0,976c.

4. Дано:

Масса покоя нейтрона, $m_n = 1.675 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Скорость света, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Элементарный заряд, $e \approx 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Найти:

Энергия покоя нейтрона, $E_0$ (в МэВ) - ?

Решение:

Энергия покоя вычисляется по формуле Эйнштейна:

$E_0 = m_n c^2$

1. Вычислим энергию в джоулях (Дж):

$E_0 = (1.675 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 1.675 \cdot 10^{-27} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ Дж} = 15.075 \cdot 10^{-11} \text{ Дж} \approx 1.508 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}$

2. Переведем энергию из джоулей в электронвольты (эВ), зная, что $1 \text{ эВ} \approx 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$:

$E_0 (\text{эВ}) = \frac{1.508 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}}{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 0.941 \cdot 10^9 \text{ эВ} = 941 \cdot 10^6 \text{ эВ}$

3. Переведем энергию в мегаэлектронвольты (МэВ), зная, что $1 \text{ МэВ} = 10^6 \text{ эВ}$:

$E_0 (\text{МэВ}) = 941 \text{ МэВ}$

Более точные расчеты с использованием точных значений констант дают значение около 939,6 МэВ. Среди предложенных вариантов наиболее близким является 939 МэВ.

Ответ: В. 939 МэВ.

5. Дано:

Изменение энергии, $\Delta E = 4.19 \text{ Дж}$

Скорость света, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Изменение массы, $\Delta m$ - ?

Решение:

Соотношение между изменением энергии и изменением массы дается формулой эквивалентности массы и энергии:

$\Delta E = \Delta m c^2$

Отсюда можно выразить изменение массы:

$\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2}$

Подставим числовые значения:

$\Delta m = \frac{4.19 \text{ Дж}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{4.19}{9 \cdot 10^{16}} \text{ кг}$

$\Delta m \approx 0.4655... \cdot 10^{-16} \text{ кг} = 4.655... \cdot 10^{-17} \text{ кг}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем $\Delta m \approx 4.65 \cdot 10^{-17} \text{ кг}$.

Ответ: Б. $4,65 \cdot 10^{-17}$ кг.