Вариант 1, страница 23 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тесты для самоконтроля. ТС-14. Релятивистская механика - страница 23.

Условие.

ТС-14. Релятивистская механика

Вариант 1

1. Во сколько раз замедляется ход времени (по часам неподвижного наблюдателя) при скорости движения 250 000 км/с?

А. В 1,8 раза.

Б. В 4 раза.

В. В 3 раза.

2. Какое время пройдет на Земле, если на космическом корабле будущего, движущемся относительно Земли со скоростью, равной 0,99 скорости света, прошел один год?

А. 0,5 года.

Б. 10 лет.

В. 7,1 года.

3. Две ракеты движутся навстречу друг другу со скоростью $v_1 = v_2 = \frac{3}{4}c$ по отношению к неподвижному наблюдателю. Какова скорость сближения ракет согласно релятивистской формуле сложения скоростей?

А. $0,5c$.

Б. $2c$.

В. $0,96c$.

4. Чему равна энергия покоя протона? Масса покоя протона равна $m_p = 1,673 \cdot 10^{-27}$ кг.

А. 428 МэВ.

Б. 938 МэВ.

В. 1480 МэВ.

5. Солнце излучает в пространство ежесекундно около $3,75 \cdot 10^{26}$ Дж энергии. На сколько ежесекундно уменьшается масса Солнца?

А. На $4,2 \cdot 10^9$ кг.

Б. На $8 \cdot 10^9$ кг.

В. На $1,2 \cdot 10^9$ кг.

Решение.

1. Дано:

Скорость движения, $v = 250\ 000$ км/с

Скорость света, $c \approx 300\ 000$ км/с

Перевод в СИ:

$v = 2.5 \cdot 10^8$ м/с

$c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Отношение $\frac{\Delta t}{\Delta t_0}$ — во сколько раз замедляется ход времени.

Решение:

Замедление времени в специальной теории относительности описывается формулой: $\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, где $\Delta t$ — время, прошедшее для неподвижного наблюдателя, а $\Delta t_0$ — собственное время, прошедшее в движущейся системе отсчета.

Отношение $\frac{\Delta t}{\Delta t_0}$ показывает, во сколько раз время для неподвижного наблюдателя идет быстрее (или, что то же самое, во сколько раз время в движущейся системе замедляется).

$\frac{\Delta t}{\Delta t_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Найдем отношение $\frac{v}{c}$:

$\frac{v}{c} = \frac{250\ 000 \text{ км/с}}{300\ 000 \text{ км/с}} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$

Подставим это значение в формулу:

$\frac{\Delta t}{\Delta t_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{5}{6})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{25}{36}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{36-25}{36}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{11}{36}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{11}}{6}} = \frac{6}{\sqrt{11}}$

Вычислим приближенное значение:

$\frac{6}{\sqrt{11}} \approx \frac{6}{3.317} \approx 1.809$

Таким образом, ход времени замедляется примерно в 1,8 раза.

Ответ: А. В 1,8 раза.

2. Дано:

Время, прошедшее на космическом корабле, $\Delta t_0 = 1$ год

Скорость корабля относительно Земли, $v = 0.99c$

Найти:

Время, которое пройдет на Земле, $\Delta t$.

Решение:

Используем ту же формулу релятивистского замедления времени:

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Подставим известные значения:

$\Delta t = \frac{1 \text{ год}}{\sqrt{1 - \frac{(0.99c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.99^2}}$

Для упрощения вычислений используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$1 - 0.99^2 = (1 - 0.99)(1 + 0.99) = 0.01 \cdot 1.99 = 0.0199$

Теперь вычислим $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{1}{\sqrt{0.0199}} \approx \frac{1}{0.141} \approx 7.09$ лет

Округляя, получаем 7,1 года.

Ответ: В. 7,1 года.

3. Дано:

Скорость первой ракеты относительно наблюдателя, $v_1 = \frac{3}{4}c$

Скорость второй ракеты относительно наблюдателя, $v_2 = \frac{3}{4}c$ (навстречу)

Найти:

Скорость сближения ракет, $v_{сбл}$.

Решение:

Для нахождения скорости сближения используем релятивистский закон сложения скоростей. Пусть неподвижный наблюдатель находится в системе отсчета S, а первая ракета — в системе отсчета S'. Ось OX направим по движению первой ракеты.

Скорость второй ракеты в системе S: $u_x = -v_2 = -\frac{3}{4}c$ (знак "минус", так как ракеты движутся навстречу).

Скорость системы S' (первой ракеты) относительно системы S: $V = v_1 = \frac{3}{4}c$.

Скорость второй ракеты относительно первой (скорость сближения) найдем по формуле:

$u'_x = \frac{u_x - V}{1 - \frac{u_x V}{c^2}}$

Подставим значения:

$u'_x = \frac{-\frac{3}{4}c - \frac{3}{4}c}{1 - \frac{(-\frac{3}{4}c)(\frac{3}{4}c)}{c^2}} = \frac{-\frac{6}{4}c}{1 - (-\frac{9}{16}\frac{c^2}{c^2})} = \frac{-\frac{3}{2}c}{1 + \frac{9}{16}}$

$u'_x = \frac{-\frac{3}{2}c}{\frac{16+9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}c}{\frac{25}{16}} = -\frac{3}{2}c \cdot \frac{16}{25} = -\frac{3 \cdot 8}{25}c = -\frac{24}{25}c$

$u'_x = -0.96c$

Модуль скорости сближения равен $0.96c$.

Ответ: В. 0,96c.

4. Дано:

Масса покоя протона, $m_p = 1.673 \cdot 10^{-27}$ кг

Скорость света, $c \approx 2.998 \cdot 10^8$ м/с

Заряд электрона, $e \approx 1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл

Перевод в СИ:

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

Энергию покоя протона, $E_0$, в МэВ.

Решение:

Энергия покоя вычисляется по формуле Эйнштейна $E_0 = m_0 c^2$.

Сначала вычислим энергию в Джоулях:

$E_0 = (1.673 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (2.998 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 \approx 1.5039 \cdot 10^{-10}$ Дж

Теперь переведем энергию в МэВ (Мегаэлектронвольты), зная, что $1 \text{ МэВ} = 1.602 \cdot 10^{-13}$ Дж.

$E_0 (\text{МэВ}) = \frac{E_0 (\text{Дж})}{1.602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж/МэВ}}$

$E_0 = \frac{1.5039 \cdot 10^{-10}}{1.602 \cdot 10^{-13}} \text{ МэВ} \approx 0.93876 \cdot 10^3 \text{ МэВ} \approx 938.8$ МэВ

Полученное значение наиболее близко к 938 МэВ.

Ответ: Б. 938 МэВ.

5. Дано:

Энергия, излучаемая Солнцем за 1 с, $\Delta E = 3.75 \cdot 10^{26}$ Дж

Время, $\Delta t = 1$ с

Скорость света, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в СИ:

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

Уменьшение массы Солнца за 1 с, $\Delta m$.

Решение:

Согласно формуле эквивалентности массы и энергии Эйнштейна, $E = mc^2$, потеря энергии $\Delta E$ соответствует потере массы $\Delta m$.

$\Delta E = \Delta m c^2$

Отсюда можно выразить потерю массы:

$\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2}$

Подставим численные значения:

$\Delta m = \frac{3.75 \cdot 10^{26} \text{ Дж}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{3.75 \cdot 10^{26}}{9 \cdot 10^{16}}$ кг

$\Delta m = \frac{3.75}{9} \cdot 10^{26-16} \text{ кг} = 0.4167 \cdot 10^{10}$ кг

Запишем в стандартном виде:

$\Delta m \approx 4.17 \cdot 10^9$ кг

Этот результат наиболее близок к $4.2 \cdot 10^9$ кг.

Ответ: А. На 4,2·10⁹ кг.