Вариант 1, страница 22 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

ТС-13. Динамика свободных и вынужденных колебаний. Тесты для самоконтроля - страница 22.

Условие.

ТС-13. Динамика свободных и вынужденных колебаний

Вариант 1

1. Как изменится период колебаний математического маятника, если длину нити увеличить в 4 раза?

А. Увеличится в 2 раза.

Б. Уменьшится в 2 раза.

В. Увеличится в 4 раза.

2. Как изменится период колебаний пружинного маятника, если жесткость пружины уменьшить в 9 раз?

А. Увеличится в 9 раз.

Б. Уменьшится в 3 раза.

В. Увеличится в 3 раза.

3. Как изменяется полная механическая энергия гармонических колебаний пружинного маятника при увеличении амплитуды его колебаний в 2 раза?

А. Не изменяется.

Б. Увеличивается в 4 раза.

В. Уменьшается в 2 раза.

4. Груз висит на пружине и колеблется с периодом 0,6 с. На сколько укоротится пружина, если снять с нее груз?

А. На 3 см.

Б. На 9 см.

В. На 15 см.

5. Какова зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты, если амплитуда колебаний вынуждающей силы постоянна?

А. Не зависит от частоты.

Б. Непрерывно возрастает с увеличением частоты.

В. Сначала возрастает, достигает максимума, а затем убывает.

Решение.

1. Как изменится период колебаний математического маятника, если длину нити увеличить в 4 раза?

Период колебаний математического маятника определяется формулой: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $\text{l}$ — длина нити, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Из формулы видно, что период $\text{T}$ пропорционален квадратному корню из длины нити $\text{l}$: $T \sim \sqrt{l}$.

Пусть начальный период был $T_1$, а начальная длина $l_1$. Новая длина $l_2 = 4l_1$.

Тогда новый период $T_2$ будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{4l_1}{g}} = \sqrt{4} \cdot (2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}) = 2T_1$.

Таким образом, период колебаний увеличится в 2 раза.

Ответ: А. Увеличится в 2 раза.

2. Как изменится период колебаний пружинного маятника, если жесткость пружины уменьшить в 9 раз?

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$, где $\text{m}$ — масса груза, а $\text{k}$ — жесткость пружины.

Из формулы видно, что период $\text{T}$ обратно пропорционален квадратному корню из жесткости пружины $\text{k}$: $T \sim \frac{1}{\sqrt{k}}$.

Пусть начальный период был $T_1$, а начальная жесткость $k_1$. Новая жесткость $k_2 = \frac{k_1}{9}$.

Тогда новый период $T_2$ будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1/9}} = 2\pi\sqrt{\frac{9m}{k_1}} = \sqrt{9} \cdot (2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}) = 3T_1$.

Таким образом, период колебаний увеличится в 3 раза.

Ответ: В. Увеличится в 3 раза.

3. Как изменяется полная механическая энергия гармонических колебаний пружинного маятника при увеличении амплитуды его колебаний в 2 раза?

Полная механическая энергия пружинного маятника равна максимальной потенциальной энергии пружины и определяется формулой: $E = \frac{kA^2}{2}$, где $\text{k}$ — жесткость пружины, а $\text{A}$ — амплитуда колебаний.

Из формулы видно, что энергия $\text{E}$ пропорциональна квадрату амплитуды $\text{A}$: $E \sim A^2$.

Пусть начальная энергия была $E_1$, а начальная амплитуда $A_1$. Новая амплитуда $A_2 = 2A_1$.

Тогда новая энергия $E_2$ будет равна:

$E_2 = \frac{k(A_2)^2}{2} = \frac{k(2A_1)^2}{2} = \frac{k(4A_1^2)}{2} = 4 \cdot \frac{kA_1^2}{2} = 4E_1$.

Таким образом, полная механическая энергия увеличится в 4 раза.

Ответ: Б. Увеличивается в 4 раза.

4. Груз висит на пружине и колеблется с периодом 0,6 с. На сколько укоротится пружина, если снять с нее груз?

Дано:

$T = 0,6$ с

$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\Delta l$ - ?

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Когда груз висит на пружине в состоянии покоя, сила тяжести $F_g = mg$ уравновешивается силой упругости пружины $F_{упр} = k\Delta l$, где $\Delta l$ — удлинение пружины под действием груза.

$mg = k\Delta l$

Из этого равенства можно выразить отношение массы к жесткости: $\frac{m}{k} = \frac{\Delta l}{g}$.

Подставим это выражение в формулу периода колебаний:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l}{g}}$

Теперь выразим из этой формулы удлинение $\Delta l$. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{\Delta l}{g} = 4\pi^2 \frac{\Delta l}{g}$

$\Delta l = \frac{gT^2}{4\pi^2}$

Для упрощения расчетов в школьных задачах часто принимают $\pi^2 \approx g \approx 10$ м/с². Тогда:

$\Delta l \approx \frac{10 \text{ м/с²} \cdot (0,6 \text{ с})^2}{4 \cdot 10} = \frac{10 \cdot 0,36}{40} \text{ м} = \frac{3,6}{40} \text{ м} = 0,09$ м.

Переведем результат в сантиметры: $0,09$ м = $\text{9}$ см.

Когда груз снимают, пружина сжимается на величину своего первоначального удлинения, то есть укорачивается на $\Delta l$.

Ответ: Б. На 9 см.

5. Какова зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты, если амплитуда колебаний вынуждающей силы постоянна?

Данный вопрос описывает явление резонанса при вынужденных колебаниях. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.

При малой частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний невелика. По мере того как частота вынуждающей силы $(\omega)$ приближается к собственной частоте колебательной системы $(\omega_0)$, амплитуда колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

При частоте, равной (или очень близкой к) собственной частоте, амплитуда достигает своего максимального значения.

При дальнейшем увеличении частоты вынуждающей силы $(\omega > \omega_0)$ амплитуда колебаний снова уменьшается и стремится к нулю на очень высоких частотах.

Следовательно, зависимость амплитуды от частоты такова, что она сначала возрастает, достигает максимума (в области резонанса), а затем убывает.

Ответ: В. Сначала возрастает, достигает максимума, а затем убывает.