Номер 3, страница 76 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.14. Примеры решения задач. Упражнение 2 - номер 3, страница 76.

Условие.

3. На рисунке 1.41 изображён график зависимости координаты от времени, когда точка движется вдоль оси X. Опишите характерные особенности движения точки: в каких направлениях двигалась точка относительно оси X в различные интервалы времени; в какой момент времени точка была в начале координат; чему равнялись проекции и модули скоростей за отдельные интервалы времени? Постройте графики проекции и модуля скорости, а также пути в зависимости от времени.

Решение.

Поскольку в вопросе отсутствует сам рисунок 1.41, для решения задачи будет использован типичный пример графика зависимости координаты от времени для прямолинейного движения, состоящего из нескольких участков. Предположим, что график $x(t)$ представляет собой ломаную линию, проходящую через следующие точки: $(0 \text{ с}, 0 \text{ м})$, $(2 \text{ с}, 4 \text{ м})$, $(4 \text{ с}, 4 \text{ м})$ и $(8 \text{ с}, -4 \text{ м})$.

Дано:

График движения точки $x(t)$, проходящий через точки:

$t_0 = 0 \text{ с}$, $x_0 = 0 \text{ м}$

$t_1 = 2 \text{ с}$, $x_1 = 4 \text{ м}$

$t_2 = 4 \text{ с}$, $x_2 = 4 \text{ м}$

$t_3 = 8 \text{ с}$, $x_3 = -4 \text{ м}$

Найти:

1. Описать характер и направление движения на каждом интервале.

2. Найти моменты времени, когда точка была в начале координат ($x=0$).

3. Найти проекции и модули скоростей для каждого интервала.

4. Построить графики проекции скорости $v_x(t)$, модуля скорости $v(t)$ и пути $s(t)$.

Решение:

Характерные особенности и направление движения точки

Движение можно разбить на три интервала:

1. Интервал времени от $t_0=0 \text{ с}$ до $t_1=2 \text{ с}$.
На этом участке координата точки линейно возрастает от $0 \text{ м}$ до $4 \text{ м}$. Это означает, что точка движется равномерно и прямолинейно. Так как координата увеличивается, движение происходит в положительном направлении оси X.

2. Интервал времени от $t_1=2 \text{ с}$ до $t_2=4 \text{ с}$.
На этом участке координата точки не изменяется и остается равной $4 \text{ м}$. Это означает, что точка находится в состоянии покоя.

3. Интервал времени от $t_2=4 \text{ с}$ до $t_3=8 \text{ с}$.
На этом участке координата точки линейно убывает от $4 \text{ м}$ до $-4 \text{ м}$. Это означает, что точка движется равномерно и прямолинейно. Так как координата уменьшается, движение происходит в отрицательном направлении оси X.

Ответ: С $0$ до $2$ с — равномерное движение в положительном направлении оси X; с $2$ до $4$ с — покой; с $4$ до $8$ с — равномерное движение в отрицательном направлении оси X.

В какой момент времени точка была в начале координат

Начало координат соответствует значению $x=0$.

1. Из начальных условий видно, что в момент времени $t=0 \text{ с}$ точка находилась в начале координат, $x(0) = 0 \text{ м}$.

2. На интервале от $4 \text{ с}$ до $8 \text{ с}$ координата меняется с $4 \text{ м}$ до $-4 \text{ м}$, следовательно, она проходит через ноль. Найдем этот момент времени. Уравнение движения на этом участке имеет вид $x(t) = x_2 + v_{x3}(t-t_2)$. Скорость $v_{x3}$ будет рассчитана в следующем пункте и равна $-2 \text{ м/с}$.
$x(t) = 4 + (-2)(t-4)$.
Приравниваем координату к нулю: $0 = 4 - 2(t-4)$.
$2(t-4) = 4$
$t-4 = 2$
$t = 6 \text{ с}$.

Ответ: Точка была в начале координат в моменты времени $t=0 \text{ с}$ и $t=6 \text{ с}$.

Чему равнялись проекции и модули скоростей за отдельные интервалы времени

Проекция скорости $v_x$ на каждом участке находится по формуле $v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{конеч} - x_{началь}}{t_{конеч} - t_{началь}}$. Модуль скорости $v = |v_x|$.

1. Интервал $0 \text{ с} - 2 \text{ с}$:
Проекция скорости: $v_{x1} = \frac{4 \text{ м} - 0 \text{ м}}{2 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}$.
Модуль скорости: $v_1 = |2 \text{ м/с}| = 2 \text{ м/с}$.

2. Интервал $2 \text{ с} - 4 \text{ с}$:
Проекция скорости: $v_{x2} = \frac{4 \text{ м} - 4 \text{ м}}{4 \text{ с} - 2 \text{ с}} = 0 \text{ м/с}$.
Модуль скорости: $v_2 = |0 \text{ м/с}| = 0 \text{ м/с}$.

3. Интервал $4 \text{ с} - 8 \text{ с}$:
Проекция скорости: $v_{x3} = \frac{-4 \text{ м} - 4 \text{ м}}{8 \text{ с} - 4 \text{ с}} = \frac{-8 \text{ м}}{4 \text{ с}} = -2 \text{ м/с}$.
Модуль скорости: $v_3 = |-2 \text{ м/с}| = 2 \text{ м/с}$.

Ответ: На интервале $0-2$ с: $v_x = 2$ м/с, $v = 2$ м/с. На интервале $2-4$ с: $v_x = 0$ м/с, $v = 0$ м/с. На интервале $4-8$ с: $v_x = -2$ м/с, $v = 2$ м/с.

Постройте графики проекции и модуля скорости, а также пути в зависимости от времени

1. График проекции скорости $v_x(t)$
Это ступенчатый график:
- на интервале от $t=0$ до $t=2$ с, $v_x = 2 \text{ м/с}$ (горизонтальная линия);
- на интервале от $t=2$ до $t=4$ с, $v_x = 0 \text{ м/с}$ (линия на оси времени);
- на интервале от $t=4$ до $t=8$ с, $v_x = -2 \text{ м/с}$ (горизонтальная линия).

2. График модуля скорости $v(t)$
Это ступенчатый график, значения которого всегда неотрицательны:
- на интервале от $t=0$ до $t=2$ с, $v = 2 \text{ м/с}$ (горизонтальная линия);
- на интервале от $t=2$ до $t=4$ с, $v = 0 \text{ м/с}$ (линия на оси времени);
- на интервале от $t=4$ до $t=8$ с, $v = 2 \text{ м/с}$ (горизонтальная линия).

3. График пути $s(t)$
Путь — это длина пройденной траектории, он не может убывать. Рассчитаем путь для каждого интервала.
- Интервал $0 \text{ с} - 2 \text{ с}$: путь растет линейно. $s(t) = v_1 \cdot t = 2t$. К концу интервала $s(2) = 2 \cdot 2 = 4 \text{ м}$. График — прямая от $(0,0)$ до $(2,4)$.
- Интервал $2 \text{ с} - 4 \text{ с}$: точка стоит на месте, путь не меняется. $s(t) = 4 \text{ м}$. График — горизонтальная линия от $(2,4)$ до $(4,4)$.
- Интервал $4 \text{ с} - 8 \text{ с}$: точка движется, путь снова растет. $s(t) = s(4) + v_3 \cdot (t-4) = 4 + 2(t-4)$. К концу интервала $s(8) = 4 + 2(8-4) = 12 \text{ м}$. График — прямая от $(4,4)$ до $(8,12)$.

Ответ: Графики представляют собой ломаные линии.
График $v_x(t)$ состоит из горизонтальных отрезков на уровнях $2$, $0$ и $-2$ м/с.
График $v(t)$ состоит из горизонтальных отрезков на уровнях $2$, $0$ и $2$ м/с.
График $s(t)$ — ломаная, соединяющая точки $(0,0)$, $(2,4)$, $(4,4)$ и $(8,12)$.