Номер 2, страница 72 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Параграф 1.12. Скорость при произвольном движении. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 2, страница 72.

Условие.

2. Каким выражением определяется модуль вектора скорости? Как оно получено?

Решение.

Каким выражением определяется модуль вектора скорости?

Модуль вектора скорости $v$ (или $|\vec{v}|$), который представляет собой численное значение скорости (т.е. быстроту движения), определяется через его проекции на оси координат. В общем случае для трёхмерного пространства (в системе координат Oxyz) модуль вектора скорости $\vec{v}$ с проекциями $v_x$, $v_y$ и $v_z$ на оси Ox, Oy и Oz соответственно, определяется по следующей формуле:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$
Если движение происходит в одной плоскости (двумерный случай, система координат Oxy), то проекция на ось Oz равна нулю ($v_z = 0$), и формула упрощается:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Ответ: Модуль вектора скорости определяется выражением $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$, где $v_x$, $v_y$, $v_z$ — проекции вектора скорости на оси координат.

Как оно получено?

Это выражение является следствием теоремы Пифагора, применённой к компонентам вектора в прямоугольной системе координат.
Рассмотрим вывод для трёхмерного случая. Вектор скорости $\vec{v}$ можно представить как диагональ прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого равны модулям его проекций: $|v_x|$, $|v_y|$, $|v_z|$.
1. Сначала найдём модуль проекции вектора $\vec{v}$ на плоскость Oxy. Обозначим эту проекцию как $\vec{v}_{xy}$. Её компоненты — это $v_x$ и $v_y$. Эти компоненты образуют катеты прямоугольного треугольника в плоскости Oxy, а гипотенузой является вектор $\vec{v}_{xy}$. По теореме Пифагора, квадрат модуля гипотенузы равен сумме квадратов модулей катетов:
$v_{xy}^2 = v_x^2 + v_y^2$
2. Теперь рассмотрим другой прямоугольный треугольник. Его катетами будут вектор проекции $\vec{v}_{xy}$ и вектор проекции на ось Oz, $\vec{v}_z$. Гипотенузой в этом треугольнике будет сам вектор скорости $\vec{v}$. Снова применяем теорему Пифагора:
$v^2 = v_{xy}^2 + v_z^2$
3. Подставим в это уравнение выражение для $v_{xy}^2$ из первого пункта:
$v^2 = (v_x^2 + v_y^2) + v_z^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$
4. Чтобы найти модуль скорости $v$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$
Таким образом, формула для модуля вектора скорости является обобщением теоремы Пифагора для трёхмерного пространства.

Ответ: Выражение получено путём двукратного применения теоремы Пифагора к проекциям вектора скорости в прямоугольной системе координат.