Номер 3, страница 72 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Параграф 1.12. Скорость при произвольном движении. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 3, страница 72.

Условие.

3. Почему при вычислении мгновенной скорости используется производная?

Решение.

Решение

Для того чтобы понять, почему для вычисления мгновенной скорости используется производная, необходимо рассмотреть определения средней и мгновенной скоростей.

Средняя скорость $v_{ср}$ на некотором участке пути — это отношение всего перемещения $\Delta x$ ко времени $\Delta t$, за которое это перемещение было совершено. Она вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$

где $x(t_1)$ и $x(t_2)$ — это координаты тела в моменты времени $t_1$ и $t_2$. Средняя скорость характеризует движение на всем промежутке времени $\Delta t$, но не дает информации о скорости в каждый конкретный момент времени.

Мгновенная скорость — это скорость тела в данный момент времени (или в данной точке траектории). Чтобы найти ее, мы должны рассмотреть среднюю скорость на бесконечно малом промежутке времени $\Delta t$, который стремится к нулю. Математически это выражается через операцию взятия предела:

$v = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}$

Этот предел отношения приращения функции (перемещения $\Delta x$) к приращению ее аргумента (времени $\Delta t$), когда приращение аргумента стремится к нулю, является точным математическим определением производной функции по этому аргументу.

Таким образом, мгновенная скорость $v(t)$ является производной от функции координаты (или пути) $x(t)$ по времени $t$:

$v(t) = x'(t) = \frac{dx}{dt}$

Физический смысл производной как раз и заключается в том, что она показывает скорость изменения функции. В данном случае, производная от координаты по времени показывает скорость изменения положения тела, что и является по определению мгновенной скоростью.

Ответ: Производная используется для вычисления мгновенной скорости, потому что по своему математическому определению производная функции координаты по времени ($x'(t)$) есть предел отношения приращения координаты к приращению времени, когда последнее стремится к нулю. Этот предел в точности соответствует физическому определению мгновенной скорости как скорости изменения положения тела в данный момент времени.