Номер 6, страница 77 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.14. Примеры решения задач. Упражнение 2 - номер 6, страница 77.

Условие.

6. Один локомотив прошёл первую половину пути $\text{l}$ со скоростью $v_1 = 80 \text{ км/ч}$, а вторую половину пути — со скоростью $v_2 = 40 \text{ км/ч}$. Другой локомотив шёл половину времени $\text{t}$ со скоростью $v_1 = 80 \text{ км/ч}$, а половину времени — со скоростью $v_2 = 40 \text{ км/ч}$. Найдите средние модули скоростей обоих локомотивов.

Решение.

Дано:

$v_1 = 80$ км/ч $= 80 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{200}{9}$ м/с $\approx 22,22$ м/с

$v_2 = 40$ км/ч $= 40 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{100}{9}$ м/с $\approx 11,11$ м/с

Найти:

$\text{<}v_1\text{>}$ - средняя скорость первого локомотива

$\text{<}v_2\text{>}$ - средняя скорость второго локомотива

Решение:

Средняя скорость по определению — это отношение всего пройденного пути ко всему времени движения: $\text{<}v\text{>} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.

Средняя скорость первого локомотива

Первый локомотив прошел первую половину пути ($S/2$) со скоростью $v_1$, а вторую половину пути ($S/2$) со скоростью $v_2$. Пусть весь путь равен $S$.

Время, затраченное на первую половину пути: $t_1 = \frac{S/2}{v_1}$.

Время, затраченное на вторую половину пути: $t_2 = \frac{S/2}{v_2}$.

Общее время движения: $t_{общ1} = t_1 + t_2 = \frac{S/2}{v_1} + \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) = \frac{S(v_1+v_2)}{2v_1v_2}$.

Средняя скорость первого локомотива равна:

$\text{<}v_1\text{>} = \frac{S_{общ}}{t_{общ1}} = \frac{S}{\frac{S(v_1+v_2)}{2v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$.

Подставим числовые значения:

$\text{<}v_1\text{>} = \frac{2 \cdot 80 \cdot 40}{80 + 40} = \frac{6400}{120} = \frac{160}{3} \approx 53,3$ км/ч.

Ответ: средняя скорость первого локомотива равна $\frac{160}{3}$ км/ч, или примерно $53,3$ км/ч.

Средняя скорость второго локомотива

Второй локомотив первую половину времени ($t/2$) шел со скоростью $v_1$, а вторую половину времени ($t/2$) — со скоростью $v_2$. Пусть все время движения равно $t$.

Путь, пройденный за первую половину времени: $S_1 = v_1 \cdot \frac{t}{2}$.

Путь, пройденный за вторую половину времени: $S_2 = v_2 \cdot \frac{t}{2}$.

Общий пройденный путь: $S_{общ2} = S_1 + S_2 = v_1 \frac{t}{2} + v_2 \frac{t}{2} = \frac{t(v_1+v_2)}{2}$.

Средняя скорость второго локомотива равна:

$\text{<}v_2\text{>} = \frac{S_{общ2}}{t} = \frac{\frac{t(v_1+v_2)}{2}}{t} = \frac{v_1+v_2}{2}$.

Подставим числовые значения:

$\text{<}v_2\text{>} = \frac{80 + 40}{2} = \frac{120}{2} = 60$ км/ч.

Ответ: средняя скорость второго локомотива равна $60$ км/ч.