Номер 7, страница 77 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Авторы: Мякишев Г. Я., Синяков А. З.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: белый колесо обозрения, статор и ротор изображены
ISBN: 978-5-09-087885-2
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнение 2. Параграф 1.14. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 7, страница 77.
№7 (с. 77)
Условие. №7 (с. 77)
скриншот условия

7. По шоссе со скоростью $v_1 = 16 \text{ м/с}$ движется автобус. Человек находится на расстоянии $a = 60 \text{ м}$ от шоссе и на расстоянии $b = 400 \text{ м}$ от автобуса. В каком направлении должен бежать человек, чтобы оказаться в какой-либо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше его? Человек может бежать со скоростью $v_2 = 4 \text{ м/с}$.
Решение. №7 (с. 77)
Дано:
$v_1 = 16$ м/с
$a = 60$ м
$b = 400$ м
$v_2 = 4$ м/с
Найти:
Направление, в котором должен бежать человек.
Решение:
Введем систему координат. Пусть шоссе совпадает с осью $Ox$, а перпендикуляр к шоссе, проходящий через начальное положение человека, — с осью $Oy$. Тогда начальные координаты человека $Ч(0; a)$.
Автобус $А$ находится на шоссе (ось $Ox$) на расстоянии $b$ от человека. Его начальная координата $x_A$ может быть найдена по теореме Пифагора: $x_A^2 + a^2 = b^2$. Для определенности будем считать, что автобус находится в точке с положительной координатой:
$x_A = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{400^2 - 60^2} = \sqrt{160000 - 3600} = \sqrt{156400}$ м.
Пусть человек бежит к точке $M$ на шоссе с координатой $x_M$. Направление движения человека можно охарактеризовать углом $\theta$ между его вектором скорости и перпендикуляром к шоссе (осью $Oy$). Угол будем считать положительным, если человек бежит в сторону положительного направления оси $Ox$ (в сторону начального положения автобуса), и отрицательным в противном случае. Физический смысл имеют углы в диапазоне $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$.
Расстояние, которое пробежит человек, равно $L_2 = \sqrt{x_M^2 + a^2}$. Так как $x_M = a \tan\theta$, то $L_2 = \sqrt{a^2 \tan^2\theta + a^2} = \sqrt{a^2(\tan^2\theta+1)} = \frac{a}{|\cos\theta|}$. Поскольку $|\theta| < \frac{\pi}{2}$, $\cos\theta > 0$, и $L_2 = \frac{a}{\cos\theta}$.
Время движения человека до точки $M$:
$t_2 = \frac{L_2}{v_2} = \frac{a}{v_2 \cos\theta}$
Расстояние, которое должен проехать автобус до точки $M$, равно $L_1 = |x_M - x_A|$. Время движения автобуса:
$t_1 = \frac{L_1}{v_1} = \frac{|x_M - x_A|}{v_1} = \frac{|a \tan\theta - \sqrt{b^2 - a^2}|}{v_1}$
По условию задачи, человек должен прибыть в точку $M$ одновременно с автобусом или раньше, то есть $t_2 \le t_1$.
$\frac{a}{v_2 \cos\theta} \le \frac{|a \tan\theta - \sqrt{b^2 - a^2}|}{v_1}$
Перенесем $v_1$ и $v_2$:
$\frac{v_1 a}{v_2 \cos\theta} \le |a \frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \sqrt{b^2 - a^2}|$.
Умножим обе части на $\cos\theta > 0$:
$\frac{v_1}{v_2} a \le |a \sin\theta - \sqrt{b^2 - a^2} \cos\theta|$.
Выражение в модуле можно преобразовать с помощью введения вспомогательного угла. Умножим и разделим его на $b = \sqrt{a^2 + (\sqrt{b^2-a^2})^2}$:
$a \sin\theta - \sqrt{b^2 - a^2} \cos\theta = b \left( \frac{a}{b} \sin\theta - \frac{\sqrt{b^2 - a^2}}{b} \cos\theta \right)$.
Пусть $\phi$ — такой угол, что $\cos\phi = \frac{a}{b}$ и $\sin\phi = \frac{\sqrt{b^2 - a^2}}{b}$. Тогда выражение примет вид:
$b(\cos\phi \sin\theta - \sin\phi \cos\theta) = b \sin(\theta - \phi)$.
Неравенство становится:
$\frac{v_1}{v_2} a \le |b \sin(\theta - \phi)|$, или $|\sin(\theta - \phi)| \ge \frac{v_1 a}{v_2 b}$.
Подставим числовые значения:
$\frac{v_1 a}{v_2 b} = \frac{16 \cdot 60}{4 \cdot 400} = \frac{960}{1600} = 0.6$.
$\cos\phi = \frac{a}{b} = \frac{60}{400} = 0.15 \implies \phi = \arccos(0.15) \approx 81.4^\circ$.
Итак, мы решаем неравенство $|\sin(\theta - \phi)| \ge 0.6$.
Это равносильно двум неравенствам: $\sin(\theta - \phi) \ge 0.6$ или $\sin(\theta - \phi) \le -0.6$.
Пусть $\psi = \arcsin(0.6) \approx 36.9^\circ$.
Человек должен бежать к шоссе, поэтому угол $\theta$ находится в пределах $-90^\circ < \theta < 90^\circ$. Следовательно, аргумент синуса $\theta - \phi$ находится в пределах:
$-90^\circ - \phi < \theta - \phi < 90^\circ - \phi$.
$-90^\circ - 81.4^\circ < \theta - \phi < 90^\circ - 81.4^\circ \implies -171.4^\circ < \theta - \phi < 8.6^\circ$.
В этом диапазоне $\sin(\theta - \phi)$ принимает значения от $\sin(-90^\circ)=-1$ до $\sin(8.6^\circ) \approx 0.15$.
Таким образом, условие $\sin(\theta - \phi) \ge 0.6$ не может быть выполнено.
Рассмотрим условие $\sin(\theta - \phi) \le -0.6$.
Решением этого неравенства является $-\pi + \psi \le \theta - \phi \le -\psi$, или в градусах: $-180^\circ + 36.9^\circ \le \theta - \phi \le -36.9^\circ$, что дает $-143.1^\circ \le \theta - \phi \le -36.9^\circ$.
Этот диапазон полностью входит в допустимый интервал $(-171.4^\circ, 8.6^\circ)$.
Теперь найдем диапазон для угла $\theta$:
$\phi - 143.1^\circ \le \theta \le \phi - 36.9^\circ$.
$81.4^\circ - 143.1^\circ \le \theta \le 81.4^\circ - 36.9^\circ$.
$-61.7^\circ \le \theta \le 44.5^\circ$.
Ответ:
Человек сможет догнать автобус, если будет бежать в направлении, составляющем с перпендикуляром к шоссе угол $\theta$ в диапазоне от $-61.7^\circ$ до $44.5^\circ$. Положительные углы отсчитываются в сторону начального положения автобуса, отрицательные — в противоположную сторону.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 77 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №7 (с. 77), авторов: Мякишев (Генадий Яковлевич), Синяков (Арон Залманович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.