Номер 7, страница 77 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.14. Примеры решения задач. Упражнение 2 - номер 7, страница 77.

Условие.

7. По шоссе со скоростью $v_1 = 16 \text{ м/с}$ движется автобус. Человек находится на расстоянии $a = 60 \text{ м}$ от шоссе и на расстоянии $b = 400 \text{ м}$ от автобуса. В каком направлении должен бежать человек, чтобы оказаться в какой-либо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше его? Человек может бежать со скоростью $v_2 = 4 \text{ м/с}$.

Решение.

Дано:

$v_1 = 16$ м/с

$a = 60$ м

$b = 400$ м

$v_2 = 4$ м/с

Найти:

Направление, в котором должен бежать человек.

Решение:

Введем систему координат. Пусть шоссе совпадает с осью $Ox$, а перпендикуляр к шоссе, проходящий через начальное положение человека, — с осью $Oy$. Тогда начальные координаты человека $Ч(0; a)$.

Автобус $А$ находится на шоссе (ось $Ox$) на расстоянии $b$ от человека. Его начальная координата $x_A$ может быть найдена по теореме Пифагора: $x_A^2 + a^2 = b^2$. Для определенности будем считать, что автобус находится в точке с положительной координатой:

$x_A = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{400^2 - 60^2} = \sqrt{160000 - 3600} = \sqrt{156400}$ м.

Пусть человек бежит к точке $M$ на шоссе с координатой $x_M$. Направление движения человека можно охарактеризовать углом $\theta$ между его вектором скорости и перпендикуляром к шоссе (осью $Oy$). Угол будем считать положительным, если человек бежит в сторону положительного направления оси $Ox$ (в сторону начального положения автобуса), и отрицательным в противном случае. Физический смысл имеют углы в диапазоне $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$.

Расстояние, которое пробежит человек, равно $L_2 = \sqrt{x_M^2 + a^2}$. Так как $x_M = a \tan\theta$, то $L_2 = \sqrt{a^2 \tan^2\theta + a^2} = \sqrt{a^2(\tan^2\theta+1)} = \frac{a}{|\cos\theta|}$. Поскольку $|\theta| < \frac{\pi}{2}$, $\cos\theta > 0$, и $L_2 = \frac{a}{\cos\theta}$.

Время движения человека до точки $M$:

$t_2 = \frac{L_2}{v_2} = \frac{a}{v_2 \cos\theta}$

Расстояние, которое должен проехать автобус до точки $M$, равно $L_1 = |x_M - x_A|$. Время движения автобуса:

$t_1 = \frac{L_1}{v_1} = \frac{|x_M - x_A|}{v_1} = \frac{|a \tan\theta - \sqrt{b^2 - a^2}|}{v_1}$

По условию задачи, человек должен прибыть в точку $M$ одновременно с автобусом или раньше, то есть $t_2 \le t_1$.

$\frac{a}{v_2 \cos\theta} \le \frac{|a \tan\theta - \sqrt{b^2 - a^2}|}{v_1}$

Перенесем $v_1$ и $v_2$:

$\frac{v_1 a}{v_2 \cos\theta} \le |a \frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \sqrt{b^2 - a^2}|$.

Умножим обе части на $\cos\theta > 0$:

$\frac{v_1}{v_2} a \le |a \sin\theta - \sqrt{b^2 - a^2} \cos\theta|$.

Выражение в модуле можно преобразовать с помощью введения вспомогательного угла. Умножим и разделим его на $b = \sqrt{a^2 + (\sqrt{b^2-a^2})^2}$:

$a \sin\theta - \sqrt{b^2 - a^2} \cos\theta = b \left( \frac{a}{b} \sin\theta - \frac{\sqrt{b^2 - a^2}}{b} \cos\theta \right)$.

Пусть $\phi$ — такой угол, что $\cos\phi = \frac{a}{b}$ и $\sin\phi = \frac{\sqrt{b^2 - a^2}}{b}$. Тогда выражение примет вид:

$b(\cos\phi \sin\theta - \sin\phi \cos\theta) = b \sin(\theta - \phi)$.

Неравенство становится:

$\frac{v_1}{v_2} a \le |b \sin(\theta - \phi)|$, или $|\sin(\theta - \phi)| \ge \frac{v_1 a}{v_2 b}$.

Подставим числовые значения:

$\frac{v_1 a}{v_2 b} = \frac{16 \cdot 60}{4 \cdot 400} = \frac{960}{1600} = 0.6$.

$\cos\phi = \frac{a}{b} = \frac{60}{400} = 0.15 \implies \phi = \arccos(0.15) \approx 81.4^\circ$.

Итак, мы решаем неравенство $|\sin(\theta - \phi)| \ge 0.6$.

Это равносильно двум неравенствам: $\sin(\theta - \phi) \ge 0.6$ или $\sin(\theta - \phi) \le -0.6$.

Пусть $\psi = \arcsin(0.6) \approx 36.9^\circ$.

Человек должен бежать к шоссе, поэтому угол $\theta$ находится в пределах $-90^\circ < \theta < 90^\circ$. Следовательно, аргумент синуса $\theta - \phi$ находится в пределах:

$-90^\circ - \phi < \theta - \phi < 90^\circ - \phi$.

$-90^\circ - 81.4^\circ < \theta - \phi < 90^\circ - 81.4^\circ \implies -171.4^\circ < \theta - \phi < 8.6^\circ$.

В этом диапазоне $\sin(\theta - \phi)$ принимает значения от $\sin(-90^\circ)=-1$ до $\sin(8.6^\circ) \approx 0.15$.

Таким образом, условие $\sin(\theta - \phi) \ge 0.6$ не может быть выполнено.

Рассмотрим условие $\sin(\theta - \phi) \le -0.6$.

Решением этого неравенства является $-\pi + \psi \le \theta - \phi \le -\psi$, или в градусах: $-180^\circ + 36.9^\circ \le \theta - \phi \le -36.9^\circ$, что дает $-143.1^\circ \le \theta - \phi \le -36.9^\circ$.

Этот диапазон полностью входит в допустимый интервал $(-171.4^\circ, 8.6^\circ)$.

Теперь найдем диапазон для угла $\theta$:

$\phi - 143.1^\circ \le \theta \le \phi - 36.9^\circ$.

$81.4^\circ - 143.1^\circ \le \theta \le 81.4^\circ - 36.9^\circ$.

$-61.7^\circ \le \theta \le 44.5^\circ$.

Ответ:

Человек сможет догнать автобус, если будет бежать в направлении, составляющем с перпендикуляром к шоссе угол $\theta$ в диапазоне от $-61.7^\circ$ до $44.5^\circ$. Положительные углы отсчитываются в сторону начального положения автобуса, отрицательные — в противоположную сторону.