Номер 4, страница 225 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 67. Примеры решения задач по теме «Уравнение состояния идеального газа». Глава 10. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы - номер 4, страница 225.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Решение

Для вывода искомой формулы воспользуемся двумя выражениями для средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа.

1. Согласно молекулярно-кинетической теории, средняя кинетическая энергия одной молекулы газа прямо пропорциональна абсолютной температуре $T$:

$E_к = \frac{3}{2} k T$

где $k$ — постоянная Больцмана.

2. По определению, средняя кинетическая энергия связана со средней квадратичной скоростью $v_{\text{кв}}$ (корень из среднего квадрата скорости) и массой одной молекулы $m_0$:

$E_к = \frac{m_0 v_{\text{кв}}^2}{2}$

Приравняем правые части этих двух уравнений, так как левые части равны:

$\frac{m_0 v_{\text{кв}}^2}{2} = \frac{3}{2} k T$

Умножим обе части на 2 и выразим квадрат среднеквадратичной скорости:

$m_0 v_{\text{кв}}^2 = 3 k T$

$v_{\text{кв}}^2 = \frac{3 k T}{m_0}$

Теперь необходимо перейти от массы молекулы $m_0$ и постоянной Больцмана $k$ к молярной массе $M$ и универсальной газовой постоянной $R$. Для этого используем следующие соотношения, в которых $N_A$ — число Авогадро:

Универсальная газовая постоянная: $R = k \cdot N_A$, откуда $k = \frac{R}{N_A}$.

Молярная масса: $M = m_0 \cdot N_A$, откуда $m_0 = \frac{M}{N_A}$.

Подставим эти выражения для $k$ и $m_0$ в формулу для $v_{\text{кв}}^2$:

$v_{\text{кв}}^2 = \frac{3 \cdot \left(\frac{R}{N_A}\right) \cdot T}{\frac{M}{N_A}}$

Сократим число Авогадро $N_A$ в числителе и знаменателе дроби:

$v_{\text{кв}}^2 = \frac{3 R T}{M}$

Чтобы найти саму среднеквадратичную скорость, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$v_{\text{кв}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}}$

Таким образом, мы выразили среднюю квадратичную скорость молекулы через универсальную газовую постоянную $R$, молярную массу $M$ и абсолютную температуру $T$.

Ответ: $v_{\text{кв}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$