Номер 476, страница 65, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы термодинамики. Внутренняя энергия. Работа газа - номер 476, страница 65.

Условие.

476. [398] Определите работу, совершённую идеальным газом количеством вещества 1 моль при переходе из состояяния 1 в состояние 4 (рис. 96). Температура в состоянии 1 равна $T_1$. Отношение давлений $\frac{p_2}{p_1} = 2$.

Рис. 96

Решение.

Дано:
Количество вещества идеального газа $ν = 1$ моль
Температура в состоянии 1: $T_1$
Отношение давлений: $\frac{p_2}{p_1} = 2$
Процесс 1-2-3-4 на pT-диаграмме

Найти:
Работу газа $\text{A}$

Решение:

Работа, совершённая газом при переходе из состояния 1 в состояние 4, равна сумме работ на каждом участке пути 1-2-3-4, указанного на графике:

$A = A_{12} + A_{23} + A_{34}$

Рассмотрим каждый участок отдельно, определив параметры состояний по графику:

Состояние 1: ($p_2, T_1$); Состояние 2: ($p_2, T_4$); Состояние 3: ($p_1, T_1$); Состояние 4: ($p_1, T_4$).

На участке 1-2 процесс является изобарным, так как давление постоянно ($p = p_2 = \text{const}$). Работа газа при изобарном процессе вычисляется по формуле $A_{12} = p_2(V_2 - V_1)$. Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$, выразим объёмы $V_1$ и $V_2$:

$V_1 = \frac{\nu RT_1}{p_2}$, $V_2 = \frac{\nu RT_4}{p_2}$

Тогда работа на этом участке:

$A_{12} = p_2(\frac{\nu RT_4}{p_2} - \frac{\nu RT_1}{p_2}) = \nu R(T_4 - T_1)$

На участке 2-3 на pT-диаграмме процесс изображён отрезком прямой, продолжение которого проходит через начало координат. Это означает, что отношение давления к температуре остаётся постоянным: $\frac{p}{T} = \text{const}$. Из уравнения состояния идеального газа $pV = \nu RT \implies \frac{p}{T} = \frac{\nu R}{V}$, следует, что процесс является изохорным ($V = \text{const}$). Работа газа в изохорном процессе равна нулю:

$A_{23} = 0$

Из условия постоянства объёма ($V_2 = V_3$) найдем связь между температурами. Объём в состоянии 2 ($p_2, T_4$) равен объёму в состоянии 3 ($p_1, T_1$):

$V_2 = \frac{\nu RT_4}{p_2}$, $V_3 = \frac{\nu RT_1}{p_1}$

$\frac{\nu RT_4}{p_2} = \frac{\nu RT_1}{p_1} \implies \frac{T_4}{p_2} = \frac{T_1}{p_1} \implies T_4 = T_1 \frac{p_2}{p_1}$

По условию $\frac{p_2}{p_1} = 2$, значит, $T_4 = 2T_1$.

На участке 3-4 процесс снова является изобарным ($p = p_1 = \text{const}$). Работа газа вычисляется аналогично участку 1-2:

$A_{34} = p_1(V_4 - V_3) = p_1(\frac{\nu RT_4}{p_1} - \frac{\nu RT_1}{p_1}) = \nu R(T_4 - T_1)$

Общая работа равна сумме работ на всех участках:

$A = A_{12} + A_{23} + A_{34} = \nu R(T_4 - T_1) + 0 + \nu R(T_4 - T_1) = 2\nu R(T_4 - T_1)$

Подставим найденное соотношение $T_4 = 2T_1$ и значение количества вещества $\nu = 1$ моль в итоговую формулу:

$A = 2 \cdot 1 \cdot R(2T_1 - T_1) = 2R(T_1) = 2RT_1$

Ответ: $A = 2RT_1$.