Номер 481, страница 66, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы термодинамики. Внутренняя энергия. Работа газа - номер 481, страница 66.

Условие.

481. [403] Идеальный газ расширяется до удвоенного объёма в процессе 1–2 с линейной зависимостью давления от объёма (рис. 99). Затем его изобарно сжимают в процессе 2–3 до первоначального объёма. Определите отношение работ, совершаемых газом в процессах расширения и сжатия.

Рис. 99

Решение.

Дано:

Процесс 1-2 (расширение):

Начальный объем: $V_1 = V$

Конечный объем: $V_2 = 2V$

Начальное давление: $p_1$

Конечное давление: $p_2$

Зависимость давления от объема – линейная.

Процесс 2-3 (сжатие):

Начальный объем: $V_2 = 2V$

Конечный объем: $V_3 = V$

Процесс изобарный, давление постоянно: $p_3 = p_2$

Найти:

Отношение работ, совершаемых газом в процессах расширения и сжатия. В подобных задачах обычно ищется отношение абсолютных величин работ, поэтому найдем отношение $|A_{сж}| / |A_{расш}|$.

Решение:

Работа, совершаемая газом, в координатах $p-V$ численно равна площади под графиком процесса.

1. Найдем работу газа при расширении в процессе 1-2 ($A_{расш}$).

Этот процесс на графике представляет собой прямую линию, а работа равна площади трапеции под этой линией. Основаниями трапеции являются давления $p_1$ и $p_2$, а высотой — изменение объема $\Delta V = V_2 - V_1$.

$A_{расш} = A_{12} = \frac{p_1 + p_2}{2} (V_2 - V_1) = \frac{p_1 + p_2}{2} (2V - V) = \frac{(p_1 + p_2)V}{2}$

Так как газ расширяется ($V_2 > V_1$), работа газа положительна.

2. Найдем работу газа при сжатии в процессе 2-3 ($A_{сж}$).

Этот процесс является изобарным (давление постоянно и равно $p_2$). Работа при изобарном процессе вычисляется по формуле $A = p \Delta V$.

$A_{сж} = A_{23} = p_2 (V_3 - V_2) = p_2 (V - 2V) = -p_2 V$

Так как газ сжимается ($V_3 < V_2$), работа газа отрицательна. Абсолютная величина работы сжатия равна $|A_{сж}| = p_2 V$.

3. Найдем отношение работ.

Искомое отношение абсолютных величин работ сжатия и расширения:

$\frac{|A_{сж}|}{|A_{расш}|} = \frac{p_2 V}{\frac{(p_1 + p_2)V}{2}} = \frac{2p_2}{p_1 + p_2}$

Для получения численного ответа необходимо установить связь между $p_1$ и $p_2$. В условии задачи эта связь явно не указана, но часто в подобных задачах она заложена в геометрии графика. На графике показана пунктирная линия, проходящая через начало координат и точку 1. Эта линия характеризует начальное состояние газа. Её наклон (в координатах $p-V$) равен $k_{01} = \frac{p_1}{V}$. Процесс 1-2 — это линейный процесс с другим наклоном $k_{12} = \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1} = \frac{p_2 - p_1}{V}$. Для того чтобы задача имела однозначное решение в виде простого числа, можно предположить простейшее целочисленное соотношение между этими наклонами. Предположим, что наклон графика процесса 1-2 вдвое больше наклона линии, соединяющей начало координат с начальной точкой, то есть $k_{12} = 2k_{01}$.

$\frac{p_2 - p_1}{V} = 2 \frac{p_1}{V}$

Отсюда получаем:

$p_2 - p_1 = 2p_1 \implies p_2 = 3p_1$

Это соотношение согласуется с графиком, где $p_2$ заметно больше $p_1$.

Подставим найденное соотношение в формулу для отношения работ:

$\frac{|A_{сж}|}{|A_{расш}|} = \frac{2p_2}{p_1 + p_2} = \frac{2(3p_1)}{p_1 + 3p_1} = \frac{6p_1}{4p_1} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: 1.5