Номер 487, страница 67, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы термодинамики. Количество теплоты. Уравнение теплового баланса - номер 487, страница 67.

Условие.

487. [409] Два одинаковых железных шарика движутся навстречу друг другу со скоростями 10 и 20 м/с. На сколько повысится температура шариков вследствие неупругого центрального удара, если на их нагрев расходуется половина выделившейся энергии?

Решение.

Дано:

Массы шариков: $m_1 = m_2 = m$

Скорость первого шарика: $v_1 = 10$ м/с

Скорость второго шарика: $v_2 = 20$ м/с

Доля энергии, идущая на нагрев: $\eta = 0.5$

Удельная теплоемкость железа (справочное значение): $c = 450 \frac{Дж}{кг \cdot К}$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Изменение температуры шариков: $\Delta T - ?$

Решение:

Задача описывает абсолютно неупругий удар, при котором шарики слипаются и движутся дальше как единое целое. Для такой системы выполняется закон сохранения импульса.

Выберем ось $\text{X}$, направленную в сторону движения первого шарика. Тогда его скорость будет $v_1 = 10$ м/с, а скорость второго шарика, движущегося навстречу, будет иметь отрицательную проекцию, равную $-v_2 = -20$ м/с.

Запишем закон сохранения импульса:

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

Так как шарики одинаковые ($m_1 = m_2 = m$), уравнение упрощается:

$m v_1 - m v_2 = (m + m) u$

$m(v_1 - v_2) = 2m u$

Отсюда можем найти скорость $\text{u}$ шариков после столкновения:

$u = \frac{v_1 - v_2}{2} = \frac{10 - 20}{2} = -5$ м/с

Знак "минус" указывает, что после удара оба шарика будут двигаться в направлении, в котором первоначально двигался второй (более быстрый) шарик.

При неупругом ударе часть кинетической энергии системы переходит во внутреннюю энергию (тепло). Найдем потерю кинетической энергии.

Кинетическая энергия системы до удара:

$E_{k, нач} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m \cdot 10^2}{2} + \frac{m \cdot 20^2}{2} = \frac{100m}{2} + \frac{400m}{2} = 50m + 200m = 250m$

Кинетическая энергия системы после удара:

$E_{k, кон} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} = \frac{2m \cdot (-5)^2}{2} = m \cdot 25 = 25m$

Энергия, выделившаяся в виде тепла и на деформацию (потеря кинетической энергии):

$\Delta E_k = E_{k, нач} - E_{k, кон} = 250m - 25m = 225m$

По условию, на нагрев шариков расходуется половина этой энергии. Обозначим это количество теплоты как $\text{Q}$:

$Q = \eta \cdot \Delta E_k = 0.5 \cdot 225m = 112.5m$

Это количество теплоты идет на нагрев двух шариков общей массой $2m$. Связь между количеством теплоты и изменением температуры описывается формулой:

$Q = c \cdot M_{общ} \cdot \Delta T = c \cdot (2m) \cdot \Delta T$

Теперь приравняем два выражения для $\text{Q}$ и найдем $\Delta T$:

$112.5m = c \cdot 2m \cdot \Delta T$

Масса $\text{m}$ сокращается, что логично, так как она не была дана в условии:

$112.5 = 2c \cdot \Delta T$

$\Delta T = \frac{112.5}{2c}$

Подставим значение удельной теплоемкости железа $c = 450 \frac{Дж}{кг \cdot К}$:

$\Delta T = \frac{112.5}{2 \cdot 450} = \frac{112.5}{900} = 0.125$ К

Ответ: температура шариков повысится на $0.125$ К (или $0.125^\circ$С).