Номер 480, страница 66, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы термодинамики. Внутренняя энергия. Работа газа - номер 480, страница 66.

Условие.

402. [480] На рисунке 98 в координатах $p-V$ изображён цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Температуры газа в состояниях 1 и 3 равны $T_1$ и $T_3$. Точки 2 и 4 принадлежат одной изотерме. Определите работу 1 моля газа за цикл.

Рис. 98

Решение.

Дано:

Количество вещества: $\nu = 1$ моль

Температура в состоянии 1: $T_1$

Температура в состоянии 3: $T_3$

Процессы 1-2 и 3-4 — изохоры ($V = const$)

Процессы 2-3 и 4-1 — изобары ($p = const$)

Состояния 2 и 4 лежат на одной изотерме ($T_2 = T_4$)

Найти:

Работу газа за цикл $A_{цикл}$.

Решение:

Работа, совершаемая газом за цикл, равна сумме работ на отдельных участках цикла: $A_{цикл} = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}$.

Процессы 1-2 и 3-4 являются изохорными (объем газа не меняется, $V=const$), поэтому работа на этих участках равна нулю: $A_{12} = 0$ и $A_{34} = 0$.

Процессы 2-3 и 4-1 являются изобарными (давление постоянно, $p=const$). Работа на этих участках вычисляется по формуле $A = p \Delta V$.

Работа на участке 2-3 (расширение): $A_{23} = p_2(V_4 - V_1)$.

Работа на участке 4-1 (сжатие): $A_{41} = p_1(V_1 - V_4) = -p_1(V_4 - V_1)$.

Тогда полная работа за цикл: $A_{цикл} = A_{23} + A_{41} = p_2(V_4 - V_1) - p_1(V_4 - V_1) = (p_2 - p_1)(V_4 - V_1)$.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для 1 моля газа ($pV = RT$) для каждого из четырёх состояний:

1. $p_1 V_1 = R T_1$

2. $p_2 V_1 = R T_2$

3. $p_2 V_4 = R T_3$

4. $p_1 V_4 = R T_4$

По условию, точки 2 и 4 лежат на одной изотерме, значит, $T_2 = T_4$. Из уравнений (2) и (4) следует, что $p_2 V_1 = p_1 V_4$.

Перемножим левые и правые части уравнений (1) и (3):

$(p_1 V_1)(p_2 V_4) = (R T_1)(R T_3) \Rightarrow p_1 p_2 V_1 V_4 = R^2 T_1 T_3$.

Теперь перемножим левые и правые части уравнений (2) и (4):

$(p_2 V_1)(p_1 V_4) = (R T_2)(R T_4) \Rightarrow p_1 p_2 V_1 V_4 = R^2 T_2 T_4$.

Приравнивая правые части полученных выражений и учитывая, что $T_2 = T_4$, получаем:

$R^2 T_1 T_3 = R^2 T_2^2$

Отсюда находим температуру в состояниях 2 и 4: $T_2 = T_4 = \sqrt{T_1 T_3}$.

Теперь выразим работу за цикл через температуры. Раскроем скобки в формуле для работы:

$A_{цикл} = p_2 V_4 - p_2 V_1 - p_1 V_4 + p_1 V_1$.

Подставим в это выражение значения произведений $pV$ из уравнений состояния для каждой точки:

$A_{цикл} = R T_3 - R T_2 - R T_4 + R T_1$.

Так как $T_2 = T_4 = \sqrt{T_1 T_3}$, то:

$A_{цикл} = R T_3 - R\sqrt{T_1 T_3} - R\sqrt{T_1 T_3} + R T_1 = R(T_1 + T_3 - 2\sqrt{T_1 T_3})$.

Полученное выражение представляет собой полный квадрат разности:

$A_{цикл} = R(\sqrt{T_1} - \sqrt{T_3})^2 = R(\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$.

Ответ: $A_{цикл} = R(\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$.