Номер 474, страница 65, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы термодинамики. Внутренняя энергия. Работа газа - номер 474, страница 65.

Условие.

474. [396] Состояние идеального газа изменяется по закону $p = \alpha V$. Определите работу идеального газа при повышении его температуры от $T_1$ до $T_2$. Количество вещества газа 1 моль.

Решение.

Дано:

Закон изменения состояния идеального газа: $p = \alpha V$
Количество вещества: $\nu = 1$ моль
Начальная температура: $T_1$
Конечная температура: $T_2$
Универсальная газовая постоянная: $\text{R}$

Найти:

Работу газа $\text{A}$.

Решение:

Работа, совершаемая газом при изменении его объема от $V_1$ до $V_2$, в общем случае вычисляется как интеграл от давления по объему: $A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV$

Согласно условию задачи, процесс описывается законом $p = \alpha V$, где $\alpha$ — некоторая постоянная. Подставим это выражение в формулу для работы: $A = \int_{V_1}^{V_2} \alpha V \, dV$

Вычислим данный интеграл: $A = \alpha \int_{V_1}^{V_2} V \, dV = \alpha \left[ \frac{V^2}{2} \right]_{V_1}^{V_2} = \frac{\alpha(V_2^2 - V_1^2)}{2} = \frac{1}{2}(\alpha V_2^2 - \alpha V_1^2)$

Чтобы выразить работу через заданные температуры, воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона): $pV = \nu RT$

Подставим в него закон процесса $p = \alpha V$: $(\alpha V)V = \nu RT$
$\alpha V^2 = \nu RT$

Это соотношение связывает объем и температуру газа в любом состоянии в данном процессе. Запишем его для начального и конечного состояний:
В начальном состоянии (с параметрами $V_1$ и $T_1$): $\alpha V_1^2 = \nu RT_1$.
В конечном состоянии (с параметрами $V_2$ и $T_2$): $\alpha V_2^2 = \nu RT_2$.

Теперь подставим полученные выражения для $\alpha V_1^2$ и $\alpha V_2^2$ в формулу для работы: $A = \frac{1}{2}(\alpha V_2^2 - \alpha V_1^2) = \frac{1}{2}(\nu RT_2 - \nu RT_1) = \frac{\nu R(T_2 - T_1)}{2}$

По условию задачи, количество вещества газа $\nu = 1$ моль. Таким образом, окончательное выражение для работы газа имеет вид: $A = \frac{R(T_2 - T_1)}{2}$

Ответ: $A = \frac{R(T_2 - T_1)}{2}$