Номер 478, страница 66, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы термодинамики. Внутренняя энергия. Работа газа - номер 478, страница 66.

Условие.

478. [400] Идеальный одноатомный газ, занимающий объём $V_1 = 2 \text{ м}^3$, расширяется. При этом на диаграмме $p-V$ (рис. 97) расширение изображается прямой линией, продолжение которой пересекает ось ординат в точке $p_0 = 0,5 \cdot 10^5 \text{ Па}$, начальное давление $p_1 = 10^5 \text{ Па}$. Чему равен объём газа в конце расширения, если известно, что газ совершил работу $A = 6 \cdot 10^5 \text{ Дж}?$

Рис. 97

Решение.

Дано

$V_1 = 2 \text{ м}^3$

$p_0 = 0.5 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$p_1 = 10^5 \text{ Па}$

$A = 6 \cdot 10^5 \text{ Дж}$

Найти:

$V_2$

Решение

Работа газа в термодинамическом процессе численно равна площади фигуры под графиком этого процесса на диаграмме p–V. В данном случае процесс расширения изображается прямой линией, следовательно, работа газа равна площади трапеции, основаниями которой являются начальное давление $p_1$ и конечное давление $p_2$, а высотой — изменение объёма $(V_2 - V_1)$.

Формула для работы газа в таком процессе:

$A = \frac{p_1 + p_2}{2} (V_2 - V_1)$

Зависимость давления от объёма в данном процессе линейная и может быть описана уравнением прямой $p(V) = kV + b$. Из условия известно, что продолжение прямой пересекает ось ординат (где $V = 0$) в точке $p_0$, значит, свободный член $\text{b}$ равен $p_0$.

$p(V) = kV + p_0$

Найдём угловой коэффициент $\text{k}$ из начальных условий (точка $(V_1, p_1)$):

$p_1 = kV_1 + p_0 \implies k = \frac{p_1 - p_0}{V_1}$

Подставим числовые значения:

$k = \frac{10^5 \text{ Па} - 0.5 \cdot 10^5 \text{ Па}}{2 \text{ м}^3} = \frac{0.5 \cdot 10^5 \text{ Па}}{2 \text{ м}^3} = 0.25 \cdot 10^5 \frac{\text{Па}}{\text{м}^3}$

Таким образом, зависимость давления от объёма имеет вид:

$p(V) = 0.25 \cdot 10^5 V + 0.5 \cdot 10^5$

Для конечного состояния газа $(V_2, p_2)$ справедливо соотношение:

$p_2 = k V_2 + p_0 = 0.25 \cdot 10^5 V_2 + 0.5 \cdot 10^5$

Теперь подставим это выражение для $p_2$ в формулу для работы:

$A = \frac{p_1 + (k V_2 + p_0)}{2} (V_2 - V_1)$

Подставим все известные числовые значения:

$6 \cdot 10^5 = \frac{10^5 + (0.25 \cdot 10^5 V_2 + 0.5 \cdot 10^5)}{2} (V_2 - 2)$

$6 \cdot 10^5 = \frac{1.5 \cdot 10^5 + 0.25 \cdot 10^5 V_2}{2} (V_2 - 2)$

Разделим обе части уравнения на $0.25 \cdot 10^5$:

$24 = \frac{6 + V_2}{2} (V_2 - 2)$

$48 = (6 + V_2)(V_2 - 2)$

$48 = 6V_2 - 12 + V_2^2 - 2V_2$

$V_2^2 + 4V_2 - 60 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $V_2$. Решим его:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$

$V_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 16}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$V_{2,1} = \frac{-4 + 16}{2} = 6 \text{ (м}^3)$

$V_{2,2} = \frac{-4 - 16}{2} = -10 \text{ (м}^3)$

Поскольку объём не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только положительный корень.

Ответ: конечный объём газа равен $6 \text{ м}^3$.