Номер 628, страница 81 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

628. Идеальный газ в количестве 4 моль изобарически нагревают при давлении $3p$ так, что его объём увеличивается в 3 раза. Затем газ изохорически охлаждают до давления $p$, после чего изобарически сжимают до первоначального объёма и изохорически нагревают до начальной температуры $T_1 = 250 \text{ К}$. Изобразить циклический процесс в координатах $p, V$ и определить работу газа в этом процессе.

Дано:

Количество вещества идеального газа, $\nu = 4$ моль

Процесс 1-2: изобарный ($p = \text{const}$), давление $p_1 = 3p$, объем увеличивается в 3 раза ($V_2 = 3V_1$)

Процесс 2-3: изохорный ($V = \text{const}$), давление падает до $p_3 = p$

Процесс 3-4: изобарный ($p = \text{const}$), сжатие до первоначального объема $V_4 = V_1$

Процесс 4-1: изохорный ($V = \text{const}$), нагрев до начальной температуры $T_1 = 250$ К

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Найти:

1. Изобразить циклический процесс в координатах $p, V$.

2. Работу газа за цикл $A$.

Решение:

Опишем состояния газа в узловых точках цикла. Пусть начальный объем газа $V_1$, а минимальное давление в цикле $p$.

• Состояние 1: Начальное состояние. Параметры: $V_1$, $p_1 = 3p$, $T_1 = 250$ К.
• Состояние 2: Газ изобарически расширяется от объема $V_1$ до $V_2 = 3V_1$. Параметры: $V_2 = 3V_1$, $p_2 = p_1 = 3p$.
• Состояние 3: Газ изохорически охлаждается, давление падает до $p_3 = p$. Параметры: $V_3 = V_2 = 3V_1$, $p_3 = p$.
• Состояние 4: Газ изобарически сжимается до начального объема $V_4 = V_1$. Параметры: $V_4 = V_1$, $p_4 = p_3 = p$.

После этого газ изохорически нагревают, и он возвращается в состояние 1. Процесс 4-1 замыкает цикл.

1. Изображение циклического процесса в координатах p, V

В координатной плоскости $p,V$ (давление по оси ординат, объем по оси абсцисс) данный циклический процесс представляет собой прямоугольник. Вершины прямоугольника соответствуют состояниям 1, 2, 3 и 4:

• Точка 1: $(V_1, 3p)$
• Точка 2: $(3V_1, 3p)$
• Точка 3: $(3V_1, p)$
• Точка 4: $(V_1, p)$

Процесс 1-2 (изобарное расширение) — горизонтальный отрезок, идущий вправо.Процесс 2-3 (изохорное охлаждение) — вертикальный отрезок, идущий вниз.Процесс 3-4 (изобарное сжатие) — горизонтальный отрезок, идущий влево.Процесс 4-1 (изохорное нагревание) — вертикальный отрезок, идущий вверх.

Цикл проходится по часовой стрелке, что означает, что работа газа за цикл положительна.

2. Определение работы газа в этом процессе

Работа газа за цикл $A$ равна сумме работ на каждом участке: $A = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}$.

Работа при изохорных процессах (2-3 и 4-1) равна нулю, так как изменение объема $\Delta V = 0$.

$A_{23} = 0$

$A_{41} = 0$

Работа при изобарном расширении 1-2:

$A_{12} = p_1(V_2 - V_1) = 3p(3V_1 - V_1) = 3p(2V_1) = 6pV_1$

Работа при изобарном сжатии 3-4:

$A_{34} = p_3(V_4 - V_3) = p(V_1 - 3V_1) = p(-2V_1) = -2pV_1$

Полная работа за цикл:

$A = A_{12} + A_{34} = 6pV_1 - 2pV_1 = 4pV_1$

Также работу можно вычислить как площадь прямоугольника, ограниченного графиком цикла в координатах $p,V$:

$A = \Delta p \cdot \Delta V = (p_1 - p_3)(V_2 - V_1) = (3p - p)(3V_1 - V_1) = (2p)(2V_1) = 4pV_1$

Для вычисления численного значения работы воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) для состояния 1: $p_1V_1 = \nu R T_1$.

Подставим $p_1 = 3p$:

$(3p)V_1 = \nu R T_1$

Отсюда можем выразить произведение $pV_1$:

$pV_1 = \frac{\nu R T_1}{3}$

Теперь подставим это выражение в формулу для работы $A$:

$A = 4pV_1 = 4 \left( \frac{\nu R T_1}{3} \right) = \frac{4\nu R T_1}{3}$

Подставим числовые значения:

$A = \frac{4 \cdot 4 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}} \cdot 250 \text{ К}}{3} = \frac{16 \cdot 8,31 \cdot 250}{3} \text{ Дж} = \frac{33240}{3} \text{ Дж} = 11080 \text{ Дж}$

Ответ:

Циклический процесс в координатах $p,V$ является прямоугольником с вершинами в точках $(V_1, 3p)$, $(3V_1, 3p)$, $(3V_1, p)$ и $(V_1, p)$, проходимым по часовой стрелке. Работа газа в этом процессе составляет $A = 11080$ Дж или $11,08$ кДж.