Номер 1.161, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.161, страница 47.

Условие.

1.161 a) $ \frac{2^n + 2^{n+2}}{10 \cdot 2^n} $;

б) $ \frac{10^{n+2} - 10^{n-2}}{10^n} $;

в) $ \frac{3^{n+1} - 3^{n-1}}{3^{n-2}} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения выражения воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем в числителе общий множитель за скобки. Сначала преобразуем слагаемое $2^{n+2}$: $2^{n+2} = 2^n \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^n$. Теперь подставим это в исходное выражение и вынесем $2^n$ в числителе: $\frac{2^n + 4 \cdot 2^n}{10 \cdot 2^n} = \frac{2^n(1 + 4)}{10 \cdot 2^n} = \frac{5 \cdot 2^n}{10 \cdot 2^n}$. Сократим дробь на общий множитель $5 \cdot 2^n$: $\frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0.5$.
Ответ: 0.5

б) Разделим числитель почленно на знаменатель и воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{10^{n+2} - 10^{n-2}}{10^n} = \frac{10^{n+2}}{10^n} - \frac{10^{n-2}}{10^n}$. Упростим каждое слагаемое: $10^{(n+2)-n} - 10^{(n-2)-n} = 10^2 - 10^{-2}$. Теперь вычислим результат: $100 - \frac{1}{10^2} = 100 - \frac{1}{100} = 100 - 0.01 = 99.99$.
Ответ: 99.99

в) Как и в предыдущем примере, разделим числитель почленно на знаменатель и применим свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{3^{n+1} - 3^{n-1}}{3^{n-2}} = \frac{3^{n+1}}{3^{n-2}} - \frac{3^{n-1}}{3^{n-2}}$. Упростим степени: $3^{(n+1)-(n-2)} - 3^{(n-1)-(n-2)} = 3^{n+1-n+2} - 3^{n-1-n+2} = 3^3 - 3^1$. Вычислим итоговое значение: $27 - 3 = 24$.
Ответ: 24