Номер 1.162, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.162, страница 47.

Условие.

1.162 Преобразуйте в дробь выражение:

а) $(x^{-2} - y^{-2}): (x^{-1} + y^{-1})$;

б) $(m + n)^{-1} \cdot (m^{-1} + n^{-1})$;

в) $(a + b)^{-2} \cdot (a^{-2} - b^{-2})$;

г) $(xy^{-1} - x^{-1}y): (x - y)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Преобразуем выражение $(x^{-2} - y^{-2}) : (x^{-1} + y^{-1})$.

Сначала используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для каждого члена выражения:

$x^{-2} - y^{-2} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$

$x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

Теперь приведем дроби в каждой скобке к общему знаменателю.

Для первой скобки: $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$.

Для второй скобки: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}$.

Теперь выполним деление полученных дробей:

$\frac{y^2 - x^2}{x^2y^2} : \frac{x+y}{xy} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2} \cdot \frac{xy}{x+y}$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$ и сократим:

$\frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2} \cdot \frac{xy}{x+y} = \frac{(y-x)\cancel{(y+x)}}{\cancel{x^2y^2}_{xy}} \cdot \frac{\cancel{xy}}{\cancel{x+y}} = \frac{y-x}{xy}$

Ответ: $\frac{y-x}{xy}$

б)

Преобразуем выражение $(m+n)^{-1} \cdot (m^{-1} + n^{-1})$.

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем выражение:

$\frac{1}{m+n} \cdot (\frac{1}{m} + \frac{1}{n})$

Приведем сумму в скобках к общему знаменателю $mn$:

$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{n+m}{mn}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{1}{m+n} \cdot \frac{m+n}{mn}$

Сократим одинаковые множители $(m+n)$:

$\frac{1}{\cancel{m+n}} \cdot \frac{\cancel{m+n}}{mn} = \frac{1}{mn}$

Ответ: $\frac{1}{mn}$

в)

Преобразуем выражение $(a+b)^{-2} \cdot (a^{-2} - b^{-2})$.

Перепишем выражение без отрицательных степеней:

$\frac{1}{(a+b)^2} \cdot (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2})$

Приведем разность в скобках к общему знаменателю $a^2b^2$:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2-a^2}{a^2b^2}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{1}{(a+b)^2} \cdot \frac{b^2-a^2}{a^2b^2}$

Разложим числитель $b^2-a^2$ по формуле разности квадратов: $b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$.

$\frac{1}{(a+b)^2} \cdot \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$:

$\frac{1}{(a+b)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{(b-a)\cancel{(b+a)}}{a^2b^2} = \frac{b-a}{a^2b^2(a+b)}$

Ответ: $\frac{b-a}{a^2b^2(a+b)}$

г)

Преобразуем выражение $(xy^{-1} - x^{-1}y) : (x-y)$.

Перепишем члены в скобках без отрицательных степеней:

$xy^{-1} = \frac{x}{y}$

$x^{-1}y = \frac{y}{x}$

Выражение принимает вид: $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) : (x-y)$.

Приведем разность в скобках к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$

Теперь выполним деление:

$\frac{x^2 - y^2}{xy} : (x-y) = \frac{x^2 - y^2}{xy} \cdot \frac{1}{x-y}$

Разложим числитель $x^2 - y^2$ на множители: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$\frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{1}{x-y}$

Сократим общий множитель $(x-y)$:

$\frac{\cancel{(x-y)}(x+y)}{xy} \cdot \frac{1}{\cancel{x-y}} = \frac{x+y}{xy}$

Ответ: $\frac{x+y}{xy}$