Номер 1.158, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.158, страница 47.

Условие.

1.158 Известно, что $2^n = a$. Выразите через $a$:

а) $2^{n+1}$;

б) $2^{n+2}$;

в) $2^{2n+1}$;

г) $2^{n-1}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того чтобы выразить $2^{n+1}$ через $a$, воспользуемся свойством степеней: $x^{m+k} = x^m \cdot x^k$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$2^{n+1} = 2^n \cdot 2^1$

По условию задачи известно, что $2^n = a$. Также мы знаем, что $2^1 = 2$. Подставим эти значения в выражение:

$2^n \cdot 2^1 = a \cdot 2 = 2a$

Ответ: $2a$

б) Аналогично пункту а), используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием $x^{m+k} = x^m \cdot x^k$.

$2^{n+2} = 2^n \cdot 2^2$

Подставляем известные значения $2^n = a$ и $2^2 = 4$:

$2^n \cdot 2^2 = a \cdot 4 = 4a$

Ответ: $4a$

в) В этом случае нам понадобятся два свойства степеней: произведение степеней $x^{m+k} = x^m \cdot x^k$ и возведение степени в степень $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$.

Сначала разложим показатель степени:

$2^{2n+1} = 2^{2n} \cdot 2^1$

Теперь преобразуем $2^{2n}$. Используя свойство возведения степени в степень, получаем:

$2^{2n} = 2^{n \cdot 2} = (2^n)^2$

Так как $2^n = a$, то $(2^n)^2 = a^2$.

Теперь подставим все обратно в исходное выражение:

$2^{2n+1} = (2^n)^2 \cdot 2^1 = a^2 \cdot 2 = 2a^2$

Ответ: $2a^2$

г) Для выражения $2^{n-1}$ воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: $x^{m-k} = \frac{x^m}{x^k}$.

$2^{n-1} = \frac{2^n}{2^1}$

Подставляем известные значения $2^n = a$ и $2^1 = 2$:

$\frac{2^n}{2^1} = \frac{a}{2}$

Ответ: $\frac{a}{2}$