Номер 1.164, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.164, страница 47.

Условие.

1.164 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

В таблице даны некоторые значения выражения $x^n$. Заполните таблицу, вписывая в свободные клетки произведения или частные содержащихся в ней чисел (например, так, как это сделано на пересечении строки 4 и столбца 6). Сравните свои результаты с результатами соседа по парте. (У вас могли получиться разные выражения.)

n x	2	3	4	5	6	7	8	-5
2	4	8	16	32	64	128	256
3	9	27	81
4	16	64			$256 \cdot 16$
6	36

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для заполнения таблицы будем использовать свойства степеней и значения, уже представленные в таблице. Основные свойства, которые нам понадобятся:

• Произведение степеней с одинаковым основанием: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$
• Частное степеней с одинаковым основанием: $x^a / x^b = x^{a-b}$
• Степень с отрицательным показателем: $x^{-n} = 1/x^n$
• Степень произведения: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
• Степень степени: $(x^a)^b = x^{ab}$

Заполним пустые ячейки, записывая выражение на основе чисел из таблицы и вычисляя результат.

Строка x = 2

Ячейка (x=2, n=-5): Для вычисления $2^{-5}$ используем свойство степени с отрицательным показателем. В таблице есть значение $2^5 = 32$. Таким образом, $2^{-5} = 1 / 2^5 = 1/32$. Ответ: $1/32$.

Строка x = 3

Ячейка (x=3, n=5): Для вычисления $3^5$ используем свойство произведения степеней: $3^5 = 3^{2+3} = 3^2 \cdot 3^3$. Из таблицы берем $3^2=9$ и $3^3=27$. Получаем: $9 \cdot 27 = 243$. Ответ: 243.

Ячейка (x=3, n=6): Аналогично, $3^6 = 3^{2+4} = 3^2 \cdot 3^4 = 9 \cdot 81 = 729$. (Также можно было использовать $3^6 = 3^3 \cdot 3^3 = 27 \cdot 27 = 729$). Ответ: 729.

Ячейка (x=3, n=7): $3^7 = 3^{3+4} = 3^3 \cdot 3^4 = 27 \cdot 81 = 2187$. Ответ: 2187.

Ячейка (x=3, n=8): $3^8 = 3^4 \cdot 3^4 = 81 \cdot 81 = 6561$. Ответ: 6561.

Ячейка (x=3, n=-5): Используем свойство $x^{-n} = 1/x^n$. Мы уже вычислили $3^5=243$. Таким образом, $3^{-5} = 1/3^5 = 1/243$. Ответ: $1/243$.

Строка x = 4

Ячейка (x=4, n=4): Для вычисления $4^4$ можно использовать свойство степени степени и связь с другой строкой: $4^4 = (2^2)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8$. Значение $2^8$ есть в таблице: $256$. (Альтернативно: $4^4 = 4^2 \cdot 4^2 = 16 \cdot 16 = 256$). Ответ: 256.

Ячейка (x=4, n=5): $4^5 = 4^{2+3} = 4^2 \cdot 4^3 = 16 \cdot 64 = 1024$. Ответ: 1024.

Ячейка (x=4, n=6): В этой ячейке дано выражение $256 \cdot 16$. Проверим его: $256$ это $4^4$ (что мы нашли выше или что равно $2^8$ из таблицы), а $16$ это $4^2$. Таким образом $4^4 \cdot 4^2 = 4^6$. Выражение верное. Вычислим значение: $256 \cdot 16 = 4096$. Ответ: 4096.

Ячейка (x=4, n=7): $4^7 = (2^2)^7 = 2^{14} = 2^8 \cdot 2^6 = 256 \cdot 64 = 16384$. Ответ: 16384.

Ячейка (x=4, n=8): $4^8 = (2^2)^8 = 2^{16} = 2^8 \cdot 2^8 = 256 \cdot 256 = 65536$. Ответ: 65536.

Ячейка (x=4, n=-5): $4^{-5} = 1/4^5 = 1/1024$. Ответ: $1/1024$.

Строка x = 6

Ячейка (x=6, n=3): Для вычисления $6^3$ используем свойство степени произведения: $6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$. Из таблицы берем $2^3=8$ и $3^3=27$. Получаем: $8 \cdot 27 = 216$. Ответ: 216.

Ячейка (x=6, n=4): $6^4 = (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296$. (Альтернативно: $6^4 = 6^2 \cdot 6^2 = 36 \cdot 36 = 1296$). Ответ: 1296.

Ячейка (x=6, n=5): $6^5 = 2^5 \cdot 3^5 = 32 \cdot 243 = 7776$. (Значение $3^5=243$ было вычислено ранее). Ответ: 7776.

Ячейка (x=6, n=6): $6^6 = 2^6 \cdot 3^6 = 64 \cdot 729 = 46656$. (Значение $3^6=729$ было вычислено ранее). Ответ: 46656.

Ячейка (x=6, n=7): $6^7 = 2^7 \cdot 3^7 = 128 \cdot 2187 = 279936$. (Значение $3^7=2187$ было вычислено ранее). Ответ: 279936.

Ячейка (x=6, n=8): $6^8 = 2^8 \cdot 3^8 = 256 \cdot 6561 = 1679616$. (Значение $3^8=6561$ было вычислено ранее). Ответ: 1679616.

Ячейка (x=6, n=-5): $6^{-5} = 1/6^5 = 1/7776$. Ответ: $1/7776$.

Примечание: Как указано в условии, для вычисления значений в ячейках можно было использовать разные комбинации произведений и частных чисел из таблицы. Например, для $3^6$ можно было использовать $3^2 \cdot 3^4$ или $3^3 \cdot 3^3$, что привело бы к разным выражениям ($9 \cdot 81$ или $27 \cdot 27$), но результат был бы одинаковым ($729$).