Номер 1.163, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.163, страница 47.

Условие.

1.163 РАССУЖДАЕМ Расположите числа в порядке возрастания:

а) $8,7 \cdot 10^{-7}$; $65 \cdot 10^{-5}$; $0,12 \cdot 10^{-6}$; $940 \cdot 10^{-12}$;

б) $4,5 \cdot 10^{-15}$; $0,015 \cdot 10^{-18}$; $434 \cdot 10^{-13}$; $61 \cdot 10^{-13}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, удобнее всего привести их к стандартному виду $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$.

Выполним преобразования для каждого числа:

• $8,7 \cdot 10^{-7}$ — это число уже записано в стандартном виде.
• $65 \cdot 10^{-5} = (6,5 \cdot 10^1) \cdot 10^{-5} = 6,5 \cdot 10^{1-5} = 6,5 \cdot 10^{-4}$.
• $0,12 \cdot 10^{-6} = (1,2 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-6} = 1,2 \cdot 10^{-1-6} = 1,2 \cdot 10^{-7}$.
• $940 \cdot 10^{-12} = (9,4 \cdot 10^2) \cdot 10^{-12} = 9,4 \cdot 10^{2-12} = 9,4 \cdot 10^{-10}$.

Теперь у нас есть следующий набор чисел в стандартном виде: $8,7 \cdot 10^{-7}$; $6,5 \cdot 10^{-4}$; $1,2 \cdot 10^{-7}$; $9,4 \cdot 10^{-10}$.

При сравнении чисел в стандартном виде сначала сравнивают порядки (показатели степени 10). Чем меньше показатель, тем меньше число. Расположим показатели в порядке возрастания: $-10 < -7 < -4$.

1. Наименьший показатель равен $-10$, ему соответствует число $9,4 \cdot 10^{-10}$. Это самое маленькое число.

2. Далее идет показатель $-7$. У нас есть два числа с таким показателем: $8,7 \cdot 10^{-7}$ и $1,2 \cdot 10^{-7}$. Чтобы сравнить их, нужно сравнить их мантиссы (коэффициенты перед степенью). Поскольку $1,2 < 8,7$, то $1,2 \cdot 10^{-7} < 8,7 \cdot 10^{-7}$.

3. Наибольший показатель равен $-4$, ему соответствует число $6,5 \cdot 10^{-4}$. Это самое большое число.

Таким образом, выстраиваем числа в порядке возрастания: $9,4 \cdot 10^{-10} < 1,2 \cdot 10^{-7} < 8,7 \cdot 10^{-7} < 6,5 \cdot 10^{-4}$.

Вернемся к исходной записи чисел. Итоговый порядок:

$940 \cdot 10^{-12} < 0,12 \cdot 10^{-6} < 8,7 \cdot 10^{-7} < 65 \cdot 10^{-5}$.

Ответ: $940 \cdot 10^{-12}; 0,12 \cdot 10^{-6}; 8,7 \cdot 10^{-7}; 65 \cdot 10^{-5}$.

б) Поступим аналогичным образом, приведя все числа к стандартному виду $a \cdot 10^n$.

Выполним преобразования:

• $4,5 \cdot 10^{-15}$ — число уже в стандартном виде.
• $0,015 \cdot 10^{-18} = (1,5 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^{-18} = 1,5 \cdot 10^{-2-18} = 1,5 \cdot 10^{-20}$.
• $434 \cdot 10^{-13} = (4,34 \cdot 10^2) \cdot 10^{-13} = 4,34 \cdot 10^{2-13} = 4,34 \cdot 10^{-11}$.
• $61 \cdot 10^{-13} = (6,1 \cdot 10^1) \cdot 10^{-13} = 6,1 \cdot 10^{1-13} = 6,1 \cdot 10^{-12}$.

Мы получили числа: $4,5 \cdot 10^{-15}$; $1,5 \cdot 10^{-20}$; $4,34 \cdot 10^{-11}$; $6,1 \cdot 10^{-12}$.

Сравним показатели степеней 10: $-15, -20, -11, -12$.

Расположим показатели в порядке возрастания: $-20 < -15 < -12 < -11$.

Поскольку все показатели степеней различны, порядок чисел полностью определяется порядком их показателей. Чем меньше показатель, тем меньше число.

Следовательно, порядок чисел будет таким: $1,5 \cdot 10^{-20} < 4,5 \cdot 10^{-15} < 6,1 \cdot 10^{-12} < 4,34 \cdot 10^{-11}$.

Теперь запишем этот порядок, используя исходные представления чисел:

$0,015 \cdot 10^{-18} < 4,5 \cdot 10^{-15} < 61 \cdot 10^{-13} < 434 \cdot 10^{-13}$.

Ответ: $0,015 \cdot 10^{-18}; 4,5 \cdot 10^{-15}; 61 \cdot 10^{-13}; 434 \cdot 10^{-13}$.