Номер 1.160, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.160, страница 47.

Условие.

1.160 a) $\frac{a^{-1} + a^{-2} + a^{-3}}{a^3 + a^2 + a}$

б) $\frac{1 + d^3 + d^5}{d^{-6} + d^{-3} + d^{-1}}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{a^{-1} + a^{-2} + a^{-3}}{a^3 + a^2 + a} $, вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе $ a^{-1} + a^{-2} + a^{-3} $ вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $ a^{-3} $:

$ a^{-1} + a^{-2} + a^{-3} = a^{-3}(a^2 + a + 1) $.

Это можно проверить, раскрыв скобки: $ a^{-3} \cdot a^2 + a^{-3} \cdot a + a^{-3} \cdot 1 = a^{-3+2} + a^{-3+1} + a^{-3} = a^{-1} + a^{-2} + a^{-3} $.

В знаменателе $ a^3 + a^2 + a $ вынесем за скобки общий множитель $ a $:

$ a^3 + a^2 + a = a(a^2 + a + 1) $.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{a^{-3}(a^2 + a + 1)}{a(a^2 + a + 1)} $.

Сократим общий множитель $ (a^2 + a + 1) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{a^{-3}}{a} $.

По свойству деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $, получаем:

$ a^{-3-1} = a^{-4} $.

Ответ: $ a^{-4} $

б) Чтобы упростить выражение $ \frac{1 + d^3 + d^5}{d^{-6} + d^{-3} + d^{-1}} $, преобразуем знаменатель.

В знаменателе $ d^{-6} + d^{-3} + d^{-1} $ вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $ d^{-6} $:

$ d^{-6} + d^{-3} + d^{-1} = d^{-6}(1 + d^3 + d^5) $.

Проверим, раскрыв скобки: $ d^{-6} \cdot 1 + d^{-6} \cdot d^3 + d^{-6} \cdot d^5 = d^{-6} + d^{-6+3} + d^{-6+5} = d^{-6} + d^{-3} + d^{-1} $.

Подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{1 + d^3 + d^5}{d^{-6}(1 + d^3 + d^5)} $.

Сократим общий множитель $ (1 + d^3 + d^5) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{1}{d^{-6}} $.

По свойству степени с отрицательным показателем $ \frac{1}{x^{-n}} = x^n $, получаем:

$ d^6 $.

Ответ: $ d^6 $