Номер 1.154, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.154, страница 46.

Условие.

1.154 а) Нанометр — это миллиардная часть метра, т. е. 1 нм = $10^{-9}$ м. Выразите 1 нм в: км; см; мм; мкм.

Образец. Найдём, какую часть микрона составляет 1 нанометр. Микрон (другое название — микрометр) — это тысячная доля миллиметра, т. е. миллионная доля метра; 1 мкм = $10^{-6}$ м,

1 нм = $10^{-9}$ м, $\frac{1 \text{ нм}}{1 \text{ мкм}} = \frac{10^{-9} \text{ м}}{10^{-6} \text{ м}} = 10^{-3}$, т. е. 1 нм = $10^{-3}$ мкм.

б) Данные на компакт-диски записываются в виде углублений, имеющих размеры 100 нм глубины и 500 нм ширины. Выразите эти размеры в метрах.

в) В современных технологиях производства микросхем используются элементы размером от 25 до 45 нм, и в будущем эти размеры планируют уменьшить до 15 нм. Выразите эти данные в метрах.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы выразить 1 нанометр (нм) в других единицах измерения, воспользуемся основным соотношением $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$ и стандартными метрическими приставками.

Перевод в километры (км):
Мы знаем, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 10^3 \text{ м}$, следовательно, $1 \text{ м} = 10^{-3} \text{ км}$.
$1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м} = 10^{-9} \cdot (10^{-3} \text{ км}) = 10^{-9-3} \text{ км} = 10^{-12} \text{ км}$.

Перевод в сантиметры (см):
Мы знаем, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см} = 10^2 \text{ см}$.
$1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м} = 10^{-9} \cdot (10^2 \text{ см}) = 10^{-9+2} \text{ см} = 10^{-7} \text{ см}$.

Перевод в миллиметры (мм):
Мы знаем, что $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм} = 10^3 \text{ мм}$.
$1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м} = 10^{-9} \cdot (10^3 \text{ мм}) = 10^{-9+3} \text{ мм} = 10^{-6} \text{ мм}$.

Перевод в микрометры (мкм):
Мы знаем, что $1 \text{ мкм} = 10^{-6} \text{ м}$, следовательно, $1 \text{ м} = 10^6 \text{ мкм}$.
$1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м} = 10^{-9} \cdot (10^6 \text{ мкм}) = 10^{-9+6} \text{ мкм} = 10^{-3} \text{ мкм}$.

Ответ: $1 \text{ нм} = 10^{-12} \text{ км}$; $1 \text{ нм} = 10^{-7} \text{ см}$; $1 \text{ нм} = 10^{-6} \text{ мм}$; $1 \text{ нм} = 10^{-3} \text{ мкм}$.

б) Для перевода размеров углублений на компакт-диске из нанометров в метры воспользуемся соотношением $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$.

1. Глубина углубления составляет 100 нм. Переведем это значение в метры:
$100 \text{ нм} = 100 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 10^2 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 10^{2-9} \text{ м} = 10^{-7} \text{ м}$.

2. Ширина углубления составляет 500 нм. Переведем это значение в метры:
$500 \text{ нм} = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^2 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{2-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$.

Ответ: глубина углублений составляет $10^{-7} \text{ м}$, а ширина — $5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$.

в) Чтобы выразить размеры элементов микросхем в метрах, используем то же соотношение: $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$. Размеры представим в стандартном виде.

1. Текущие размеры элементов: от 25 до 45 нм.
$25 \text{ нм} = 25 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 2,5 \cdot 10^1 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 2,5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$.
$45 \text{ нм} = 45 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 4,5 \cdot 10^1 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 4,5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$.
Таким образом, текущие размеры находятся в диапазоне от $2,5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$ до $4,5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$.

2. Планируемый в будущем размер: 15 нм.
$15 \text{ нм} = 15 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 1,5 \cdot 10^1 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 1,5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$.

Ответ: размеры современных элементов составляют от $2,5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$ до $4,5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$; планируемый будущий размер — $1,5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$.