Номер 1.150, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.150, страница 45.

Условие.

1.150 а) $ \frac{x^{-10}x^5}{x^6} $;

б) $ a^8(a^{-4})^3 $;

в) $ (m^{-3}m^8)^{-2} $;

г) $ \left(\frac{y^4}{y^{-1}y^{-2}}\right)^4 $;

д) $ \frac{(c^7c^{-2})^{-3}}{c^{-8}} $;

е) $ (p^{-4})^2 \cdot (p^{-3})^{-2} $;

ж) $ \left(\frac{n^4}{n^{-7}}\right)^{-2} \cdot n^{-5} $;

з) $ (2b^{-3} \cdot 5b^2)^{-2} $;

и) $ \left(\frac{3}{x^{-3}} \cdot \frac{x^3}{6}\right)^{-1} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения выражения $\frac{x^{-10}x^5}{x^6}$ воспользуемся свойствами степеней.
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Упростим числитель: $x^{-10}x^5 = x^{-10+5} = x^{-5}$.
2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Разделим результат на знаменатель: $\frac{x^{-5}}{x^6} = x^{-5-6} = x^{-11}$.
Ответ: $x^{-11}$

б) Для упрощения выражения $a^8(a^{-4})^3$ воспользуемся свойствами степеней.
1. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Упростим множитель в скобках: $(a^{-4})^3 = a^{-4 \cdot 3} = a^{-12}$.
2. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. $a^8 \cdot a^{-12} = a^{8+(-12)} = a^{8-12} = a^{-4}$.
Ответ: $a^{-4}$

в) Для упрощения выражения $(m^{-3}m^8)^{-2}$ воспользуемся свойствами степеней.
1. Сначала упростим выражение в скобках, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием: $m^{-3}m^8 = m^{-3+8} = m^5$.
2. Теперь возведем результат в степень, используя правило возведения степени в степень: $(m^5)^{-2} = m^{5 \cdot (-2)} = m^{-10}$.
Ответ: $m^{-10}$

г) Для упрощения выражения $(\frac{y^4}{y^{-1}y^{-2}})^4$ воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим знаменатель дроби в скобках: $y^{-1}y^{-2} = y^{-1+(-2)} = y^{-3}$.
2. Упростим дробь в скобках, используя правило деления степеней: $\frac{y^4}{y^{-3}} = y^{4-(-3)} = y^{4+3} = y^7$.
3. Возведем результат в степень: $(y^7)^4 = y^{7 \cdot 4} = y^{28}$.
Ответ: $y^{28}$

д) Для упрощения выражения $\frac{(c^7c^{-2})^{-3}}{c^{-8}}$ воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим выражение в скобках в числителе: $c^7c^{-2} = c^{7+(-2)} = c^5$.
2. Возведем результат в степень: $(c^5)^{-3} = c^{5 \cdot (-3)} = c^{-15}$.
3. Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{c^{-15}}{c^{-8}} = c^{-15 - (-8)} = c^{-15+8} = c^{-7}$.
Ответ: $c^{-7}$

е) Для упрощения выражения $(p^{-4})^2 \cdot (p^{-3})^{-2}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень.
1. Упростим первый множитель: $(p^{-4})^2 = p^{-4 \cdot 2} = p^{-8}$.
2. Упростим второй множитель: $(p^{-3})^{-2} = p^{-3 \cdot (-2)} = p^6$.
3. Перемножим полученные результаты: $p^{-8} \cdot p^6 = p^{-8+6} = p^{-2}$.
Ответ: $p^{-2}$

ж) Для упрощения выражения $(\frac{n^4}{n^{-7}})^{-2} \cdot n^{-5}$ воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим дробь в скобках: $\frac{n^4}{n^{-7}} = n^{4-(-7)} = n^{4+7} = n^{11}$.
2. Возведем результат в степень: $(n^{11})^{-2} = n^{11 \cdot (-2)} = n^{-22}$.
3. Умножим на оставшийся множитель: $n^{-22} \cdot n^{-5} = n^{-22+(-5)} = n^{-27}$.
Ответ: $n^{-27}$

з) Для упрощения выражения $(2b^{-3} \cdot 5b^2)^{-2}$ выполним действия в скобках, а затем возведем в степень.
1. Упростим выражение в скобках, перемножив числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием: $2 \cdot 5 = 10$ и $b^{-3} \cdot b^2 = b^{-3+2} = b^{-1}$. Получаем: $(10b^{-1})^{-2}$.
2. Используем свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$: $(10b^{-1})^{-2} = 10^{-2} \cdot (b^{-1})^{-2}$.
3. Вычисляем каждую часть: $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$ и $(b^{-1})^{-2} = b^{(-1) \cdot (-2)} = b^2$.
4. Собираем результат: $\frac{1}{100} \cdot b^2 = \frac{b^2}{100}$.
Ответ: $\frac{b^2}{100}$

и) Для упрощения выражения $(\frac{3}{x^{-3}} \cdot \frac{x^3}{6})^{-1}$ сначала выполним умножение дробей в скобках.
1. Умножим числители и знаменатели: $\frac{3 \cdot x^3}{x^{-3} \cdot 6}$.
2. Упростим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Упростим степени: $\frac{x^3}{x^{-3}} = x^{3-(-3)} = x^{3+3} = x^6$. Выражение в скобках равно $\frac{1}{2}x^6$ или $\frac{x^6}{2}$.
3. Теперь возведем результат в степень -1. Для дроби это означает "перевернуть" ее: $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$. $(\frac{x^6}{2})^{-1} = \frac{2}{x^6}$.
Ответ: $\frac{2}{x^6}$