Номер 1.151, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.151, страница 45.

Условие.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (1.151–1.155)

1.151 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{5^{-10}}{5^{-3} \cdot 5^{-5}} $;

б) $ \frac{12^{-3} \cdot 12^{-7}}{12^9} $;

в) $ 10^{-12} \cdot (10^{-5})^{-2} $;

г) $ (3^{-20} \cdot 3^{21})^{-3} $;

д) $ \frac{(7^{-2})^3}{7^{-4}} $;

е) $ \frac{2^{-15}}{(2^5)^{-4}} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим знаменатель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$5^{-3} \cdot 5^{-5} = 5^{-3+(-5)} = 5^{-8}$

Теперь выражение принимает вид: $\frac{5^{-10}}{5^{-8}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{5^{-10}}{5^{-8}} = 5^{-10 - (-8)} = 5^{-10+8} = 5^{-2}$

Вычисляем значение выражения: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{25}$.

б)

Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$12^{-3} \cdot 12^{-7} = 12^{-3+(-7)} = 12^{-10}$

Получаем дробь: $\frac{12^{-10}}{12^{-9}}$.

Теперь применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{12^{-10}}{12^{-9}} = 12^{-10 - (-9)} = 12^{-10+9} = 12^{-1}$

Вычисляем значение: $12^{-1} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

в)

Сначала упростим второй множитель, используя правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(10^{-5})^{-2} = 10^{(-5) \cdot (-2)} = 10^{10}$

Теперь выражение выглядит так: $10^{-12} \cdot 10^{10}$.

Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$10^{-12} \cdot 10^{10} = 10^{-12+10} = 10^{-2}$

Вычисляем значение: $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.

Ответ: $0,01$.

г)

Сначала выполним действие в скобках. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$3^{-20} \cdot 3^{21} = 3^{-20+21} = 3^1 = 3$

Теперь возведем результат в степень -3:

$(3)^{-3} = 3^{-3}$

Вычисляем значение: $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$.

д)

Упростим числитель, используя правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(7^{-2})^3 = 7^{-2 \cdot 3} = 7^{-6}$

Получаем дробь: $\frac{7^{-6}}{7^{-4}}$.

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{7^{-6}}{7^{-4}} = 7^{-6 - (-4)} = 7^{-6+4} = 7^{-2}$

Вычисляем значение: $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.

Ответ: $\frac{1}{49}$.

е)

Упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(2^5)^{-4} = 2^{5 \cdot (-4)} = 2^{-20}$

Получаем дробь: $\frac{2^{-15}}{2^{-20}}$.

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{2^{-15}}{2^{-20}} = 2^{-15 - (-20)} = 2^{-15+20} = 2^5$

Вычисляем значение: $2^5 = 32$.

Ответ: $32$.