Номер 1.148, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.148, страница 45.

Условие.

Упростите выражение (1.148–1.150).

1.148 а) $3x^{-3} \cdot 5x^{-5};$

б) $2m^{-6} \cdot 0,5m^{10};$

в) $\frac{4a^{-2}}{6a^{-3}};$

г) $\frac{12c^5}{15c^{-5}};$

д) $(2b^{-4})^3;$

е) $\left(\frac{1}{10}z^3\right)^{-2}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $3x^{-3} \cdot 5x^{-5}$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием.
1. Умножаем коэффициенты: $3 \cdot 5 = 15$.
2. При умножении степеней с одинаковым основанием $x$ их показатели складываются. Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^{-3} \cdot x^{-5} = x^{-3+(-5)} = x^{-8}$.
3. Объединяем результаты: $15x^{-8}$.
Ответ: $15x^{-8}$

б) Чтобы упростить выражение $2m^{-6} \cdot 0,5m^{10}$, поступим аналогично предыдущему пункту.
1. Умножаем коэффициенты: $2 \cdot 0,5 = 1$.
2. Умножаем степени с основанием $m$, складывая их показатели:
$m^{-6} \cdot m^{10} = m^{-6+10} = m^4$.
3. Объединяем результаты: $1 \cdot m^4 = m^4$.
Ответ: $m^4$

в) Чтобы упростить выражение $\frac{4a^{-2}}{6a^{-3}}$, разделим коэффициенты и степени с одинаковым основанием.
1. Сокращаем дробь из коэффициентов: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
2. При делении степеней с одинаковым основанием $a$ из показателя числителя вычитается показатель знаменателя. Используем свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{a^{-2}}{a^{-3}} = a^{-2 - (-3)} = a^{-2+3} = a^1 = a$.
3. Объединяем результаты: $\frac{2}{3}a$.
Ответ: $\frac{2}{3}a$

г) Упростим выражение $\frac{12c^{5}}{15c^{-5}}$.
1. Сокращаем дробь из коэффициентов, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.
2. Делим степени с основанием $c$, вычитая показатели:
$\frac{c^5}{c^{-5}} = c^{5 - (-5)} = c^{5+5} = c^{10}$.
3. Объединяем результаты: $\frac{4}{5}c^{10}$.
Ответ: $\frac{4}{5}c^{10}$

д) Чтобы упростить выражение $(2b^{-4})^3$, нужно возвести в степень каждый множитель в скобках.
1. Используем свойство $(xy)^n = x^n y^n$: $(2b^{-4})^3 = 2^3 \cdot (b^{-4})^3$.
2. Возводим в степень коэффициент: $2^3 = 8$.
3. При возведении степени в степень их показатели перемножаются. Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(b^{-4})^3 = b^{-4 \cdot 3} = b^{-12}$.
4. Объединяем результаты: $8b^{-12}$.
Ответ: $8b^{-12}$

е) Упростим выражение $(\frac{1}{10}z^3)^{-2}$.
1. Возводим в степень $-2$ каждый множитель в скобках: $(\frac{1}{10})^{-2} \cdot (z^3)^{-2}$.
2. Для возведения дроби в отрицательную степень "переворачиваем" дробь и меняем знак степени на положительный: $(\frac{1}{10})^{-2} = (\frac{10}{1})^2 = 10^2 = 100$.
3. Возводим степень в степень, перемножая показатели: $(z^3)^{-2} = z^{3 \cdot (-2)} = z^{-6}$.
4. Объединяем результаты: $100z^{-6}$.
Ответ: $100z^{-6}$