Номер 1, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Вопросы к параграфу. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1, страница 44.

Условие.

Во фрагменте 1 выполнена проверка основного свойства степени с целым показателем на конкретных примерах. Проведите аналогичным образом проверку этого свойства, если:

а) $m = -1, n = -10$;

б) $m = 8, n = -2$;

в) $m = 0, n = -12$.

Решение 4.

Основное свойство степени с целым показателем, которое мы будем проверять, это свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, где $a \neq 0$, а $m$ и $n$ — любые целые числа.

а) Проверим свойство для $m = -1$ и $n = -10$.

Вычислим левую часть равенства: $a^{-1} \cdot a^{-10}$.

Используя определение степени с отрицательным показателем ($a^{-k} = \frac{1}{a^k}$), получаем:

$a^{-1} \cdot a^{-10} = \frac{1}{a^1} \cdot \frac{1}{a^{10}} = \frac{1}{a^1 \cdot a^{10}}$

Далее, по свойству умножения степеней с натуральными показателями ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$), имеем:

$\frac{1}{a^{1+10}} = \frac{1}{a^{11}}$

И снова применяя определение степени с отрицательным показателем, получаем:

$\frac{1}{a^{11}} = a^{-11}$

Теперь вычислим правую часть равенства:

$a^{m+n} = a^{-1+(-10)} = a^{-11}$

Левая часть равна правой ($a^{-11} = a^{-11}$), следовательно, свойство подтверждается.

Ответ: $a^{-1} \cdot a^{-10} = a^{-1+(-10)} = a^{-11}$.

б) Проверим свойство для $m = 8$ и $n = -2$.

Вычислим левую часть равенства: $a^8 \cdot a^{-2}$.

Используя определение степени с отрицательным показателем, получаем:

$a^8 \cdot a^{-2} = a^8 \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{a^8}{a^2}$

По свойству деления степеней с натуральными показателями ($\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$), имеем:

$\frac{a^8}{a^2} = a^{8-2} = a^6$

Теперь вычислим правую часть равенства:

$a^{m+n} = a^{8+(-2)} = a^{8-2} = a^6$

Левая часть равна правой ($a^6 = a^6$), следовательно, свойство подтверждается.

Ответ: $a^8 \cdot a^{-2} = a^{8+(-2)} = a^6$.

в) Проверим свойство для $m = 0$ и $n = -12$.

Вычислим левую часть равенства: $a^0 \cdot a^{-12}$.

Используя определение степени с нулевым показателем ($a^0=1$) и степени с отрицательным показателем, получаем:

$a^0 \cdot a^{-12} = 1 \cdot \frac{1}{a^{12}} = \frac{1}{a^{12}}$

Снова применяя определение степени с отрицательным показателем, получаем:

$\frac{1}{a^{12}} = a^{-12}$

Теперь вычислим правую часть равенства:

$a^{m+n} = a^{0+(-12)} = a^{-12}$

Левая часть равна правой ($a^{-12} = a^{-12}$), следовательно, свойство подтверждается.

Ответ: $a^0 \cdot a^{-12} = a^{0+(-12)} = a^{-12}$.