Номер 1.145, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.145, страница 45.

Условие.

1.145 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ Представьте выражение в виде степени:

а) $b^{-3} \cdot b^{-7};$

Б) $x^{12} \cdot x^{-3} \cdot x^{-10};$

В) $\frac{m^8}{m^{12}};$

Г) $a^{-4} : a^{-3};$

Д) $(y^{-4})^2;$

Е) $(c^3)^{-5};$

Ж) $x^{-7} \cdot y^{-7};$

З) $\frac{n^{-4}}{m^{-4}}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того чтобы представить произведение $b^{-3} \cdot b^{-7}$ в виде степени, мы используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание равно $b$, а показатели степеней равны $-3$ и $-7$. Складываем показатели: $-3 + (-7) = -10$. Таким образом, получаем $b^{-3} \cdot b^{-7} = b^{-3 + (-7)} = b^{-10}$.
Ответ: $b^{-10}$.

б) В выражении $x^{12} \cdot x^{-3} \cdot x^{-10}$ все множители имеют одинаковое основание $x$. Применяем то же правило, что и в предыдущем пункте, складывая все показатели степеней: $12 + (-3) + (-10) = 12 - 3 - 10 = 9 - 10 = -1$. Следовательно, $x^{12} \cdot x^{-3} \cdot x^{-10} = x^{12 - 3 - 10} = x^{-1}$.
Ответ: $x^{-1}$.

в) Чтобы упростить дробь $\frac{m^8}{m^{12}}$, используем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Здесь основание $m$, показатель степени числителя равен $8$, а показатель степени знаменателя равен $12$. Вычитаем из показателя числителя показатель знаменателя: $8 - 12 = -4$. Получаем $\frac{m^8}{m^{12}} = m^{8-12} = m^{-4}$.
Ответ: $m^{-4}$.

г) Выражение $a^{-4} : a^{-3}$ представляет собой деление степеней с одинаковым основанием $a$. Используем правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Показатель степени делимого равен $-4$, а показатель степени делителя равен $-3$. Вычитаем показатели: $-4 - (-3) = -4 + 3 = -1$. Таким образом, $a^{-4} : a^{-3} = a^{-4 - (-3)} = a^{-1}$.
Ответ: $a^{-1}$.

д) Для выражения $(y^{-4})^2$ нужно применить правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В этом случае основание $y$, внутренний показатель $-4$, а внешний показатель $2$. Перемножаем показатели: $-4 \cdot 2 = -8$. Получаем $(y^{-4})^2 = y^{-4 \cdot 2} = y^{-8}$.
Ответ: $y^{-8}$.

е) Выражение $(c^3)^{-5}$ также требует применения правила возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Основание равно $c$, показатели $3$ и $-5$. Перемножаем показатели: $3 \cdot (-5) = -15$. Следовательно, $(c^3)^{-5} = c^{3 \cdot (-5)} = c^{-15}$.
Ответ: $c^{-15}$.

ж) В выражении $x^{-7} \cdot y^{-7}$ основания разные ($x$ и $y$), но показатели одинаковые ($-7$). Используем свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ в обратном порядке: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Применяя это правило, получаем $x^{-7} \cdot y^{-7} = (x \cdot y)^{-7}$ или $(xy)^{-7}$.
Ответ: $(xy)^{-7}$.

з) В выражении $\frac{n^{-4}}{m^{-4}}$ основания $n$ и $m$ разные, а показатели равны $-4$. Используем свойство возведения частного (дроби) в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ в обратном порядке: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$. Применяя это правило, получаем $\frac{n^{-4}}{m^{-4}} = (\frac{n}{m})^{-4}$.
Ответ: $(\frac{n}{m})^{-4}$.