Номер 1.152, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.152, страница 45.

Условие.

1.152 Вычислите:

а) $125 \cdot 5^{-4}$;

б) $100^3 : 10^{-8}$;

в) $16^{-2} : 2^{-5}$;

г) $(27^2 \cdot 3^{-8})^{-1}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $125 \cdot 5^{-4}$

Чтобы вычислить значение выражения, представим число 125 как степень числа 5. Поскольку $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$, мы можем переписать выражение.

$125 \cdot 5^{-4} = 5^3 \cdot 5^{-4}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3 + (-4)} = 5^{3-4} = 5^{-1}$

Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на ту же степень с положительным показателем (свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):

$5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) $100^3 : 10^{-8}$

Представим число 100 как степень числа 10. Так как $100 = 10^2$, заменим 100 в выражении:

$100^3 : 10^{-8} = (10^2)^3 : 10^{-8}$

При возведении степени в степень их показатели перемножаются (свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$(10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6$

Теперь выражение выглядит так:

$10^6 : 10^{-8}$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя (свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$):

$10^6 : 10^{-8} = 10^{6 - (-8)} = 10^{6+8} = 10^{14}$

Ответ: $10^{14}$.

в) $16^{-2} : 2^{-5}$

Для упрощения приведем степени к одному основанию. Представим 16 как степень числа 2. Так как $16 = 2^4$, заменим 16 в выражении:

$16^{-2} : 2^{-5} = (2^4)^{-2} : 2^{-5}$

Используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$(2^4)^{-2} = 2^{4 \cdot (-2)} = 2^{-8}$

Подставим полученное значение в выражение:

$2^{-8} : 2^{-5}$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$2^{-8} : 2^{-5} = 2^{-8 - (-5)} = 2^{-8+5} = 2^{-3}$

Преобразуем степень с отрицательным показателем:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

г) $(27^2 \cdot 3^{-8})^{-1}$

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем все степени к основанию 3. Так как $27 = 3^3$, то:

$27^2 = (3^3)^2$

По свойству возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), получаем:

$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$

Теперь выражение в скобках имеет вид:

$3^6 \cdot 3^{-8}$

По свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем:

$3^6 \cdot 3^{-8} = 3^{6 + (-8)} = 3^{6-8} = 3^{-2}$

Теперь возведем полученный результат в степень -1:

$(3^{-2})^{-1}$

Снова используем свойство возведения степени в степень:

$(3^{-2})^{-1} = 3^{(-2) \cdot (-1)} = 3^2$

Вычисляем окончательное значение:

$3^2 = 9$

Ответ: $9$.