Номер 1.159, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.159, страница 47.

Условие.

Сократите дробь (1.159—1.161).

1.159 a) $\frac{5^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{15^n}$;

б) $\frac{14^n}{2^{n-2} \cdot 7^{n+2}}$;

В) $\frac{12^n}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}}$;

Г) $\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^n}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{5^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{15^n}$, необходимо представить числитель и знаменатель в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями. Основание 15 в знаменателе можно разложить на простые множители: $15 = 5 \cdot 3$. Тогда $15^n = (5 \cdot 3)^n = 5^n \cdot 3^n$.

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{5^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{5^n \cdot 3^n}$

Теперь воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$ для каждого основания отдельно:

$\frac{5^{n+1}}{5^n} \cdot \frac{3^{n-1}}{3^n} = 5^{(n+1)-n} \cdot 3^{(n-1)-n} = 5^1 \cdot 3^{-1} = 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{14^n}{2^{n-2} \cdot 7^{n+2}}$, представим основание 14 в числителе в виде произведения простых множителей: $14 = 2 \cdot 7$. Тогда $14^n = (2 \cdot 7)^n = 2^n \cdot 7^n$.

Подставим это выражение в числитель:

$\frac{2^n \cdot 7^n}{2^{n-2} \cdot 7^{n+2}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{2^n}{2^{n-2}} \cdot \frac{7^n}{7^{n+2}} = 2^{n-(n-2)} \cdot 7^{n-(n+2)} = 2^{n-n+2} \cdot 7^{n-n-2} = 2^2 \cdot 7^{-2} = 4 \cdot \frac{1}{7^2} = \frac{4}{49}$

Ответ: $\frac{4}{49}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{12^n}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}}$, представим основание 12 в виде произведения простых множителей. Так как $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$, то $12^n = (2^2 \cdot 3)^n = (2^2)^n \cdot 3^n = 2^{2n} \cdot 3^n$.

Подставим это выражение в числитель:

$\frac{2^{2n} \cdot 3^n}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{2^{2n}}{2^{2n+1}} \cdot \frac{3^n}{3^{n-1}} = 2^{2n-(2n+1)} \cdot 3^{n-(n-1)} = 2^{2n-2n-1} \cdot 3^{n-n+1} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^n}$, представим основание 100 в знаменателе в виде произведения простых множителей. Так как $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$, то $100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = (2^2)^n \cdot (5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n}$.

Подставим это выражение в знаменатель:

$\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{2^{2n} \cdot 5^{2n}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{2^{2n-1}}{2^{2n}} \cdot \frac{5^{2n+1}}{5^{2n}} = 2^{(2n-1)-2n} \cdot 5^{(2n+1)-2n} = 2^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2}$

Ответ: $\frac{5}{2}$.