Номер 1.157, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.157, страница 47.

Условие.

1.157 Найдите значение выражения:

а) $3^{10} \cdot 81^3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{10};$

б) $\left(\frac{1}{5}\right)^{-25} \cdot 25^{-6} \cdot 125^{-4};$

в) $\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 32^{-2}};$

г) $\frac{20^{-4} \cdot 15^{-3}}{30^{-7}}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того, чтобы найти значение выражения $3^{10} \cdot 81^3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{10}$, представим все множители в виде степени с основанием 3.
Мы знаем, что $81 = 3^4$ и $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$3^{10} \cdot (3^4)^3 \cdot (3^{-2})^{10}$
Теперь воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$3^{10} \cdot 3^{4 \cdot 3} \cdot 3^{-2 \cdot 10} = 3^{10} \cdot 3^{12} \cdot 3^{-20}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^{10 + 12 + (-20)} = 3^{22 - 20} = 3^2$
Вычисляем результат:
$3^2 = 9$
Ответ: 9

б) Для решения выражения $\left(\frac{1}{5}\right)^{-25} \cdot 25^{-6} \cdot 125^{-4}$ приведем все множители к основанию 5.
Мы знаем, что $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Подставим эти значения в выражение:
$(5^{-1})^{-25} \cdot (5^2)^{-6} \cdot (5^3)^{-4}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$5^{(-1) \cdot (-25)} \cdot 5^{2 \cdot (-6)} \cdot 5^{3 \cdot (-4)} = 5^{25} \cdot 5^{-12} \cdot 5^{-12}$
Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^{25 + (-12) + (-12)} = 5^{25 - 12 - 12} = 5^{25 - 24} = 5^1$
Вычисляем результат:
$5^1 = 5$
Ответ: 5

в) Для вычисления значения выражения $\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 32^{-2}}$ разложим основания степеней на простые множители.
$6 = 2 \cdot 3$, $81 = 3^4$, $32 = 2^5$.
Подставим разложения в выражение:
$\frac{(2 \cdot 3)^{-10}}{(3^4)^{-2} \cdot (2^5)^{-2}}$
Раскроем скобки, используя свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$\frac{2^{-10} \cdot 3^{-10}}{3^{-8} \cdot 2^{-10}}$
Теперь воспользуемся свойством деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{-10 - (-10)} \cdot 3^{-10 - (-8)} = 2^{-10 + 10} \cdot 3^{-10 + 8} = 2^0 \cdot 3^{-2}$
Так как любое число в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$), а $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$1 \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{20^{-4} \cdot 15^{-3}}{30^{-7}}$, сначала разложим числа 20, 15 и 30 на простые множители.
$20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
$15 = 3 \cdot 5$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
Подставим эти разложения в исходное выражение:
$\frac{(2^2 \cdot 5)^{-4} \cdot (3 \cdot 5)^{-3}}{(2 \cdot 3 \cdot 5)^{-7}}$
Применим свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$\frac{(2^2)^{-4} \cdot 5^{-4} \cdot 3^{-3} \cdot 5^{-3}}{2^{-7} \cdot 3^{-7} \cdot 5^{-7}} = \frac{2^{-8} \cdot 5^{-4} \cdot 3^{-3} \cdot 5^{-3}}{2^{-7} \cdot 3^{-7} \cdot 5^{-7}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\frac{2^{-8} \cdot 3^{-3} \cdot 5^{-4-3}}{2^{-7} \cdot 3^{-7} \cdot 5^{-7}} = \frac{2^{-8} \cdot 3^{-3} \cdot 5^{-7}}{2^{-7} \cdot 3^{-7} \cdot 5^{-7}}$
Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{-8 - (-7)} \cdot 3^{-3 - (-7)} \cdot 5^{-7 - (-7)} = 2^{-8+7} \cdot 3^{-3+7} \cdot 5^{-7+7} = 2^{-1} \cdot 3^4 \cdot 5^0$
Вычислим значение полученного выражения:
$\frac{1}{2} \cdot 81 \cdot 1 = \frac{81}{2} = 40.5$
Ответ: 40,5