Номер 1.138, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.138, страница 41.

Условие.

1.138 РАССУЖДАЕМ Сравните числа $a^{-2}$ и $a^{-3}$ (рис. 1.6, а, б).

а) б) Рис. 1.6

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Из рисунка 1.6, а) мы видим, что число $a$ расположено на числовой оси правее 1. Это означает, что $a > 1$. Нам необходимо сравнить два числа: $a^{-2}$ и $a^{-3}$.

Способ 1: Сравнение показателей степени. Рассмотрим показательную функцию $y = f(x) = a^x$. Поскольку основание степени $a > 1$, эта функция является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Сравним показатели степеней: $-2$ и $-3$. Очевидно, что $-2 > -3$. Так как функция возрастающая, то и значения функции для этих аргументов будут находиться в том же соотношении: $a^{-2} > a^{-3}$.

Способ 2: Сравнение дробей. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Тогда нам нужно сравнить $\frac{1}{a^2}$ и $\frac{1}{a^3}$. Поскольку $a > 1$, при возведении в большую степень результат также будет больше. То есть $a^2 < a^3$. Теперь сравним две дроби с одинаковыми числителями (равными 1). Из двух таких дробей больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $a^2 < a^3$, то $\frac{1}{a^2} > \frac{1}{a^3}$. Следовательно, $a^{-2} > a^{-3}$.

Ответ: $a^{-2} > a^{-3}$.

б)

Из рисунка 1.6, б) мы видим, что число $a$ расположено на числовой оси между 0 и 1. Это означает, что $0 < a < 1$. Нам необходимо сравнить два числа: $a^{-2}$ и $a^{-3}$.

Способ 1: Сравнение показателей степени. Рассмотрим показательную функцию $y = f(x) = a^x$. Поскольку основание степени $0 < a < 1$, эта функция является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Сравним показатели степеней: $-2$ и $-3$. Мы знаем, что $-2 > -3$. Так как функция убывающая, то знак неравенства для значений функции меняется на противоположный: $a^{-2} < a^{-3}$.

Способ 2: Сравнение дробей. Преобразуем выражения: $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$ и $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$. Поскольку $0 < a < 1$, при возведении в большую степень результат, наоборот, будет меньше. Например, $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, а $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$, и $\frac{1}{4} > \frac{1}{8}$. То есть $a^2 > a^3$. Теперь сравним дроби $\frac{1}{a^2}$ и $\frac{1}{a^3}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями (равными 1) больше та, у которой знаменатель меньше. Но в нашем случае знаменатель первой дроби ($a^2$) больше знаменателя второй ($a^3$). Так как $a^2 > a^3$, то $\frac{1}{a^2} < \frac{1}{a^3}$. Следовательно, $a^{-2} < a^{-3}$.

Ответ: $a^{-2} < a^{-3}$.