Номер 1.136, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.136, страница 41.

Условие.

1.136 Расположите в порядке возрастания числа:

a) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}$; $\frac{2}{3}$; $\left(\frac{3}{2}\right)^{-4}$; $\left(\frac{3}{2}\right)^{0}$

б) $(2,5)^{-3}$; $2,5$; $(2,5)^{-5}$; $2,5^{0}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, преобразуем каждое из них, используя свойства степеней, чтобы облегчить сравнение.

1. $(\frac{2}{3})^{-4}$: по свойству степени с отрицательным показателем $ (a/b)^{-n} = (b/a)^n $, получаем $(\frac{3}{2})^{4}$.

2. $\frac{2}{3}$: это число можно представить как $(\frac{2}{3})^1$.

3. $(\frac{3}{2})^{-4}$: аналогично первому пункту, получаем $(\frac{2}{3})^{4}$.

4. $(\frac{3}{2})^{0}$: любое ненулевое число в степени 0 равно 1.

Теперь нам нужно сравнить следующие числа: $(\frac{3}{2})^{4}$, $(\frac{2}{3})^{1}$, $(\frac{2}{3})^{4}$ и $1$.

Сначала сравним числа с единицей. Так как основание $\frac{3}{2} > 1$, то его степень с положительным показателем будет больше единицы: $(\frac{3}{2})^{4} > 1$. Так как основание $\frac{2}{3} < 1$, то его степени с положительными показателями будут меньше единицы: $(\frac{2}{3})^{1} < 1$ и $(\frac{2}{3})^{4} < 1$.

Отсюда следует, что $(\frac{3}{2})^{4}$ — самое большое число, а $1$ — следующее по величине.

Теперь сравним оставшиеся два числа: $(\frac{2}{3})^{1}$ и $(\frac{2}{3})^{4}$. Рассмотрим степенную функцию $y = a^x$ с основанием $a = \frac{2}{3}$. Поскольку $0 < a < 1$, эта функция является убывающей. Это означает, что большему показателю степени соответствует меньшее значение функции. Сравниваем показатели $1$ и $4$. Так как $1 < 4$, то $(\frac{2}{3})^{1} > (\frac{2}{3})^{4}$.

Собирая все вместе, получаем итоговую последовательность в порядке возрастания: $(\frac{2}{3})^{4} < (\frac{2}{3})^{1} < 1 < (\frac{3}{2})^{4}$.

Теперь заменим преобразованные выражения на исходные: $(\frac{3}{2})^{-4} < \frac{2}{3} < (\frac{3}{2})^{0} < (\frac{2}{3})^{-4}$.

Ответ: $(\frac{3}{2})^{-4}; \frac{2}{3}; (\frac{3}{2})^{0}; (\frac{2}{3})^{-4}$.

б)

Рассмотрим числа $(2,5)^{-3}$; $2,5$; $(2,5)^{-5}$; $2,5^0$. Все они являются степенями одного и того же числа $2,5$. Представим их в виде степени с одним основанием: $(2,5)^{-3}$; $(2,5)^1$; $(2,5)^{-5}$; $2,5^0$.

Основание степени $a = 2,5$. Так как $a > 1$, степенная функция $y=a^x$ является возрастающей. Это означает, что большему показателю степени соответствует большее значение функции.

Расположим показатели степеней в порядке их возрастания: $-5 < -3 < 0 < 1$.

Поскольку функция возрастающая, значения степеней будут расположены в том же порядке: $(2,5)^{-5} < (2,5)^{-3} < (2,5)^0 < (2,5)^1$.

Записывая числа в исходном виде, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(2,5)^{-5}; (2,5)^{-3}; 2,5^0; 2,5$.