Номер 1.135, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.135, страница 41.

Условие.

1.135 Вычислите, пользуясь доказанным в предыдущем упражнении свойством:

а) $(\frac{2}{3})^{-3}$

б) $(\frac{1}{4})^{-3}$

в) $(\frac{3}{2})^{-5}$

г) $(\frac{7}{8})^{-2}$

д) $(-\frac{1}{3})^{-4}$

е) $(-\frac{2}{5})^{-3}$

ж) $0,1^{-3}$

з) $0,5^{-2}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

В данном задании используется свойство возведения дроби в отрицательную степень. Свойство, доказанное в предыдущем упражнении, гласит, что для любого числа $a \neq 0$, $b \neq 0$ и целого числа $n$ справедливо равенство:

$(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$

Иными словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно "перевернуть" дробь (взять обратную) и возвести ее в ту же степень, но с положительным показателем.

а) Чтобы вычислить $(\frac{2}{3})^{-3}$, применим указанное свойство. Перевернем дробь $\frac{2}{3}$ и заменим показатель степени $-3$ на $3$.

$(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^{3}$

Теперь возведем числитель и знаменатель в куб:

$(\frac{3}{2})^{3} = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$

Ответ: $\frac{27}{8}$.

б) Аналогично поступаем с выражением $(\frac{1}{4})^{-3}$.

$(\frac{1}{4})^{-3} = (\frac{4}{1})^{3} = 4^3$

Вычисляем значение степени:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

Ответ: $64$.

в) Вычисляем $(\frac{3}{2})^{-5}$, используя то же свойство.

$(\frac{3}{2})^{-5} = (\frac{2}{3})^{5}$

Возводим числитель и знаменатель в пятую степень:

$(\frac{2}{3})^{5} = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$

Ответ: $\frac{32}{243}$.

г) Вычисляем $(\frac{7}{8})^{-2}$.

$(\frac{7}{8})^{-2} = (\frac{8}{7})^{2}$

Возводим числитель и знаменатель в квадрат:

$(\frac{8}{7})^{2} = \frac{8^2}{7^2} = \frac{64}{49}$

Ответ: $\frac{64}{49}$.

д) Свойство применимо и для отрицательных оснований. Вычисляем $(-\frac{1}{3})^{-4}$.

$(-\frac{1}{3})^{-4} = (-\frac{3}{1})^{4} = (-3)^{4}$

Так как показатель степени $4$ — четное число, результат будет положительным.

$(-3)^4 = 3^4 = 81$

Ответ: $81$.

е) Вычисляем $(-\frac{2}{5})^{-3}$.

$(-\frac{2}{5})^{-3} = (-\frac{5}{2})^{3}$

Так как показатель степени $3$ — нечетное число, результат будет отрицательным.

$(-\frac{5}{2})^{3} = \frac{(-5)^3}{2^3} = \frac{-125}{8} = -\frac{125}{8}$

Ответ: $-\frac{125}{8}$.

ж) Для вычисления $0,1^{-3}$ сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной.

$0,1 = \frac{1}{10}$

Теперь применяем свойство:

$(\frac{1}{10})^{-3} = (\frac{10}{1})^{3} = 10^3$

Вычисляем результат:

$10^3 = 1000$

Ответ: $1000$.

з) Для вычисления $0,5^{-2}$ представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби.

$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Подставляем дробь в выражение и применяем свойство:

$(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^{2} = 2^2$

Вычисляем результат:

$2^2 = 4$

Ответ: $4$.