Номер 1.134, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.134, страница 41.

Условие.

1.134 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

a) $\left(\frac{8}{9}\right)^{-5} = \left(\frac{9}{8}\right)^{5};$

б) $\left(\frac{3}{4}\right)^{-10} = \left(\frac{4}{3}\right)^{10};$

В) $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для доказательства равенства $(\frac{8}{9})^{-5} = (\frac{9}{8})^{5}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем. По определению, для любого числа $x \ne 0$ и целого числа $n$, справедливо $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Применим это свойство к левой части равенства.

Преобразуем левую часть: $(\frac{8}{9})^{-5} = \frac{1}{(\frac{8}{9})^5}$.

Теперь используем свойство возведения дроби в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. $\frac{1}{(\frac{8}{9})^5} = \frac{1}{\frac{8^5}{9^5}}$.

Чтобы разделить 1 на дробь, нужно умножить 1 на дробь, обратную данной: $\frac{1}{\frac{8^5}{9^5}} = 1 \cdot \frac{9^5}{8^5} = \frac{9^5}{8^5}$.

Используя свойство возведения дроби в степень в обратном порядке, получаем: $\frac{9^5}{8^5} = (\frac{9}{8})^5$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к правой: $(\frac{8}{9})^{-5} = (\frac{9}{8})^5$. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

б) Докажем равенство $(\frac{3}{4})^{-10} = (\frac{4}{3})^{10}$. Доказательство аналогично предыдущему пункту. Будем использовать те же свойства степеней.

Преобразуем левую часть равенства, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$: $(\frac{3}{4})^{-10} = \frac{1}{(\frac{3}{4})^{10}}$.

Далее, по свойству $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$: $\frac{1}{(\frac{3}{4})^{10}} = \frac{1}{\frac{3^{10}}{4^{10}}}$.

Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь: $\frac{1}{\frac{3^{10}}{4^{10}}} = \frac{4^{10}}{3^{10}}$.

Запишем полученное выражение как степень дроби: $\frac{4^{10}}{3^{10}} = (\frac{4}{3})^{10}$.

Мы показали, что левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

в) Докажем тождество $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ для любых $a \ne 0$, $b \ne 0$ и целого числа $n$. Это обобщение предыдущих примеров.

Рассмотрим левую часть тождества $(\frac{a}{b})^{-n}$. По определению степени с отрицательным показателем:

$(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n}$.

Используем правило возведения дроби в степень для знаменателя:

$\frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}$.

Выполним деление на дробь, что эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$1 \cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n}$.

Используем правило возведения дроби в степень в обратном направлении:

$\frac{b^n}{a^n} = (\frac{b}{a})^n$.

Мы последовательно преобразовали левую часть тождества и получили правую часть. Таким образом, тождество $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ доказано.

Ответ: Доказано.