Номер 11, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 1. Алгебраические дроби - номер 11, страница 60.

Условие.

11 На координатной прямой точкой отмечено число $a$. Сравните числа $a$ и $a^{-1}$.

1) $a < a^{-1}$

2) $a > a^{-1}$

3) $a = a^{-1}$

4) невозможно сравнить

Решение 2.

Решение 4.

Решение:

На координатной прямой отмечено число a. Из положения точки на прямой видно, что она находится левее отметки -1. Это означает, что число a меньше, чем -1.
Мы можем записать это неравенством: $a < -1$.

Нам необходимо сравнить число a и число $a^{-1}$. По определению степени с отрицательным показателем, $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Таким образом, задача сводится к сравнению чисел a и $\frac{1}{a}$ при условии, что $a < -1$.

Способ 1: Аналитический
Поскольку $a < -1$, то число a отрицательное. Значит, и обратное ему число $\frac{1}{a}$ также будет отрицательным.
Рассмотрим, в каком промежутке лежит число $\frac{1}{a}$.
Если $a < -1$, то модуль числа a больше 1: $|a| > 1$.
Тогда модуль обратного числа будет меньше 1: $|\frac{1}{a}| = \frac{1}{|a|} < 1$.
Так как мы установили, что $\frac{1}{a}$ — число отрицательное, а его модуль меньше 1, то оно находится в интервале от -1 до 0.
Запишем это в виде двойного неравенства: $-1 < \frac{1}{a} < 0$.
Теперь сопоставим два полученных неравенства:
1) $a < -1$
2) $-1 < \frac{1}{a}$
Объединяя их, получаем: $a < -1 < \frac{1}{a}$. Отсюда следует, что $a < \frac{1}{a}$, или $a < a^{-1}$.

Способ 2: Подстановка конкретного значения
Чтобы наглядно увидеть соотношение, можно выбрать любое число, удовлетворяющее условию $a < -1$. Например, пусть $a = -2$.
Тогда $a^{-1} = (-2)^{-1} = \frac{1}{-2} = -0.5$.
Теперь сравним числа -2 и -0.5. На числовой прямой -2 находится левее, чем -0.5, следовательно, $-2 < -0.5$.
Это подтверждает наш вывод, что $a < a^{-1}$.

Таким образом, правильным является неравенство, представленное в варианте ответа 1.

Ответ: 1) $a < a^{-1}$