Номер 14, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 1. Алгебраические дроби - номер 14, страница 61.

Условие.

14 Сократите дробь $ \frac{2^n + 2^{n-2}}{2^{n-4}} $.

Решение 2.

Решение 4.

Для того чтобы сократить дробь $ \frac{2^n + 2^{n-2}}{2^{n-4}} $, преобразуем ее числитель и знаменатель. Существует несколько способов решения, рассмотрим один из них.

Способ 1: Разделение дроби на слагаемые

Представим дробь в виде суммы двух дробей с одинаковым знаменателем:

$ \frac{2^n + 2^{n-2}}{2^{n-4}} = \frac{2^n}{2^{n-4}} + \frac{2^{n-2}}{2^{n-4}} $

Далее воспользуемся свойством степеней при делении чисел с одинаковым основанием: $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $.

Упростим первое слагаемое:

$ \frac{2^n}{2^{n-4}} = 2^{n - (n-4)} = 2^{n-n+4} = 2^4 = 16 $

Упростим второе слагаемое:

$ \frac{2^{n-2}}{2^{n-4}} = 2^{(n-2) - (n-4)} = 2^{n-2-n+4} = 2^2 = 4 $

Теперь сложим полученные результаты:

$ 16 + 4 = 20 $

Способ 2: Вынесение общего множителя

Найдем в числителе степень с наименьшим показателем — это $ 2^{n-2} $. Вынесем ее за скобки. Для этого представим $ 2^n $ как $ 2^{(n-2)+2} = 2^{n-2} \cdot 2^2 $.

Числитель примет вид:

$ 2^n + 2^{n-2} = 2^{n-2} \cdot 2^2 + 2^{n-2} \cdot 1 = 2^{n-2}(2^2 + 1) = 2^{n-2}(4+1) = 5 \cdot 2^{n-2} $

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$ \frac{5 \cdot 2^{n-2}}{2^{n-4}} $

Применим свойство степеней $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $ для оставшейся части дроби:

$ 5 \cdot 2^{(n-2) - (n-4)} = 5 \cdot 2^{n-2-n+4} = 5 \cdot 2^2 = 5 \cdot 4 = 20 $

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $20$