Номер 8, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 1. Алгебраические дроби - номер 8, страница 60.

Условие.

8 Выполните деление: $ \frac{x^2 - y^2}{2x^2} : \frac{xy - y^2}{x} $

Решение 2.

Решение 4.

Чтобы выполнить деление алгебраических дробей, необходимо делимое умножить на дробь, обратную делителю (то есть "перевернуть" вторую дробь и выполнить умножение).

$ \frac{x^2 - y^2}{2x^2} : \frac{xy - y^2}{x} = \frac{x^2 - y^2}{2x^2} \cdot \frac{x}{xy - y^2} $

Далее, для упрощения выражения, разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби.
Числитель $x^2 - y^2$ представляет собой разность квадратов, которая раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
В знаменателе $xy - y^2$ можно вынести общий множитель $y$ за скобки:
$xy - y^2 = y(x - y)$

Подставим разложенные выражения обратно в наше произведение дробей:

$ \frac{(x - y)(x + y)}{2x^2} \cdot \frac{x}{y(x - y)} $

Теперь объединим дроби и сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $(x - y)$ и $x$.

$ \frac{(x - y)(x + y) \cdot x}{2x^2 \cdot y(x - y)} = \frac{\cancel{(x - y)}(x + y) \cdot \cancel{x}}{2x^{\cancel{2}} \cdot y \cdot \cancel{(x - y)}} $

После сокращения множителя $(x-y)$ и одной степени $x$ получаем окончательный результат:

$ \frac{x + y}{2xy} $

При этом необходимо учесть, что исходное выражение имеет смысл только при условии, что знаменатели не равны нулю и делитель не равен нулю, то есть $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x \neq y$.

Ответ: $ \frac{x + y}{2xy} $