Номер 6, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 1. Алгебраические дроби - номер 6, страница 60.

Условие.

6 Найдите сумму дробей: $\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3}$

Решение 2.

Решение 4.

Чтобы найти сумму дробей $\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3}$, необходимо привести их к общему знаменателю.

Знаменатели данных дробей — это выражения $(x-3)$ и $(x+3)$. Так как у них нет общих множителей, наименьший общий знаменатель будет их произведением: $(x-3)(x+3)$.

Приведем каждую дробь к этому общему знаменателю.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{x+3}{x-3}$ — это $(x+3)$. Умножим ее числитель и знаменатель на $(x+3)$:
$\frac{x+3}{x-3} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)}$

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{x-3}{x+3}$ — это $(x-3)$. Умножим ее числитель и знаменатель на $(x-3)$:
$\frac{x-3}{x+3} = \frac{(x-3)(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}$

Теперь, когда дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем их сложить. Для этого сложим их числители, а знаменатель оставим без изменений:
$\frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)} + \frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)}$

Далее, упростим выражение в числителе. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$
$(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$

Подставим полученные выражения обратно в числитель и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 6x + 9) = x^2 + x^2 + 6x - 6x + 9 + 9 = 2x^2 + 18$

Знаменатель $(x-3)(x+3)$ также можно упростить, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:
$(x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$

Таким образом, итоговая сумма дробей равна:
$\frac{2x^2 + 18}{x^2 - 9}$

Это выражение является окончательным, так как в числителе можно вынести за скобки 2, получив $2(x^2+9)$, но дальнейшее сокращение со знаменателем $x^2-9$ невозможно.

Ответ: $\frac{2x^2 + 18}{x^2 - 9}$