Номер 6, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 1. Алгебраические дроби - номер 6, страница 58.

Условие.

6 Выполните действия:

а) $\frac{1}{2a} - \frac{1}{3a}$;

б) $\frac{m}{m-n} + \frac{m}{m+n}$;

в) $\frac{4x}{x^2 - y^2} - \frac{4}{x + y}$;

г) $\frac{5a}{a-5} + \frac{25}{5-a}$.

Решение 2.

Решение 4.

а) Чтобы вычесть дроби $\frac{1}{2a} - \frac{1}{3a}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $2a$ и $3a$ это $6a$. Домножим первую дробь на $3$, а вторую на $2$.
$\frac{1 \cdot 3}{2a \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3a \cdot 2} = \frac{3}{6a} - \frac{2}{6a} = \frac{3-2}{6a} = \frac{1}{6a}$.
Ответ: $\frac{1}{6a}$.

б) Чтобы сложить дроби $\frac{m}{m-n} + \frac{m}{m+n}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель это $(m-n)(m+n)$. Домножим первую дробь на $(m+n)$, а вторую на $(m-n)$.
$\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} + \frac{m(m-n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{m(m+n) + m(m-n)}{(m-n)(m+n)}$.
Раскроем скобки в числителе: $m^2 + mn + m^2 - mn = 2m^2$.
Знаменатель является формулой разности квадратов: $(m-n)(m+n) = m^2 - n^2$.
Получаем: $\frac{2m^2}{m^2-n^2}$.
Ответ: $\frac{2m^2}{m^2-n^2}$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{4x}{x^2 - y^2} - \frac{4}{x+y}$.
Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Выражение примет вид: $\frac{4x}{(x-y)(x+y)} - \frac{4}{x+y}$.
Общий знаменатель: $(x-y)(x+y)$. Домножим вторую дробь на $(x-y)$.
$\frac{4x}{(x-y)(x+y)} - \frac{4(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{4x - 4(x-y)}{(x-y)(x+y)}$.
Раскроем скобки в числителе: $4x - 4x + 4y = 4y$.
Получаем: $\frac{4y}{(x-y)(x+y)} = \frac{4y}{x^2-y^2}$.
Ответ: $\frac{4y}{x^2-y^2}$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{5a}{a-5} + \frac{25}{5-a}$.
Заметим, что знаменатель второй дроби можно представить как $5-a = -(a-5)$.
Тогда вторая дробь равна $\frac{25}{-(a-5)} = -\frac{25}{a-5}$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{5a}{a-5} - \frac{25}{a-5}$.
Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители: $\frac{5a-25}{a-5}$.
Вынесем в числителе общий множитель $5$ за скобки: $\frac{5(a-5)}{a-5}$.
Сократим дробь на $(a-5)$ (при условии, что $a \neq 5$): $5$.
Ответ: $5$.