Номер 4, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 1. Алгебраические дроби - номер 4, страница 58.

Условие.

4 Сократите дробь:

а) $\frac{16x^3y}{20x^2y^2}$;

б) $\frac{a^2 - ab}{a^2}$;

В) $\frac{m^2 - n^2}{mn + n^2}$;

Г) $\frac{c^2 + c}{c^2 - c}$;

Д) $\frac{z - 1}{a - az}$.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{16x^3y}{20x^2y^2}$, нужно сократить числовые коэффициенты и степени переменных.

1. Сократим числовые коэффициенты 16 и 20. Наибольший общий делитель (НОД) для 16 и 20 равен 4. Делим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{16}{20} = \frac{16 \div 4}{20 \div 4} = \frac{4}{5}$.

2. Сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
Для переменной $x$: $\frac{x^3}{x^2} = x^{3-2} = x^1 = x$.
Для переменной $y$: $\frac{y}{y^2} = \frac{y^1}{y^2} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}$.

3. Собираем всё вместе:
$\frac{16x^3y}{20x^2y^2} = \frac{4}{5} \cdot x \cdot \frac{1}{y} = \frac{4x}{5y}$.

Ответ: $\frac{4x}{5y}$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2-ab}{a^2}$, нужно разложить числитель на множители.

1. В числителе $a^2-ab$ вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a^2-ab = a(a-b)$.

2. Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{a(a-b)}{a^2}$.

3. Сократим общий множитель $a$ в числителе и знаменателе:
$\frac{a(a-b)}{a \cdot a} = \frac{a-b}{a}$.

Ответ: $\frac{a-b}{a}$.

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{m^2-n^2}{mn+n^2}$, нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Числитель $m^2-n^2$ является разностью квадратов, которая раскладывается по формуле $A^2-B^2 = (A-B)(A+B)$:
$m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.

2. В знаменателе $mn+n^2$ вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$mn+n^2 = n(m+n)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(m-n)(m+n)}{n(m+n)}$.

4. Сократим общий множитель $(m+n)$:
$\frac{(m-n)\cancel{(m+n)}}{n\cancel{(m+n)}} = \frac{m-n}{n}$.

Ответ: $\frac{m-n}{n}$.

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{c^2+c}{c^2-c}$, нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

1. В числителе $c^2+c$ вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$c^2+c = c(c+1)$.

2. В знаменателе $c^2-c$ вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$c^2-c = c(c-1)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{c(c+1)}{c(c-1)}$.

4. Сократим общий множитель $c$:
$\frac{\cancel{c}(c+1)}{\cancel{c}(c-1)} = \frac{c+1}{c-1}$.

Ответ: $\frac{c+1}{c-1}$.

д)

Чтобы сократить дробь $\frac{z-1}{a-az}$, нужно разложить знаменатель на множители и выполнить преобразование.

1. В знаменателе $a-az$ вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a-az = a(1-z)$.

2. Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{z-1}{a(1-z)}$.

3. Заметим, что выражения в числителе $(z-1)$ и в скобках в знаменателе $(1-z)$ являются противоположными. Вынесем -1 за скобку в числителе:
$z-1 = -(1-z)$.

4. Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{-(1-z)}{a(1-z)} = \frac{-\cancel{(1-z)}}{a\cancel{(1-z)}} = \frac{-1}{a} = -\frac{1}{a}$.

Ответ: $-\frac{1}{a}$.