Номер 10, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 1. Алгебраические дроби - номер 10, страница 59.

Условие.

10 Упростите выражение:

а) $ \frac{10}{a^2-4} - \frac{3}{a-2} + \frac{4}{a+2}; $

б) $ \left(\frac{a}{a-b} - \frac{a}{a+b}\right) \cdot \frac{a-b}{ab}; $

в) $ \frac{2c}{c-3} - \frac{c^2+c}{4} : \frac{c+1}{8}. $

Решение 2.

Решение 4.

а) Исходное выражение: $\frac{10}{a^2-4} - \frac{3}{a-2} + \frac{4}{a+2}$.
Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$a^2-4 = (a-2)(a+2)$.
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{10}{(a-2)(a+2)} - \frac{3}{a-2} + \frac{4}{a+2}$.
Общий знаменатель для всех дробей — это $(a-2)(a+2)$. Приведем вторую и третью дроби к этому знаменателю, домножив их числители и знаменатели на недостающие множители: вторую дробь на $(a+2)$, а третью на $(a-2)$.
$\frac{10}{(a-2)(a+2)} - \frac{3(a+2)}{(a-2)(a+2)} + \frac{4(a-2)}{(a-2)(a+2)}$.
Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем выполнить действия с их числителями:
$\frac{10 - 3(a+2) + 4(a-2)}{(a-2)(a+2)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{10 - 3a - 6 + 4a - 8}{(a-2)(a+2)}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(-3a+4a) + (10-6-8)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a - 4}{(a-2)(a+2)}$.
Можно оставить знаменатель в разложенном виде или свернуть обратно в разность квадратов:
$\frac{a-4}{a^2-4}$.
Ответ: $\frac{a-4}{a^2-4}$.

б) Исходное выражение: $(\frac{a}{a-b} - \frac{a}{a+b}) \cdot \frac{a-b}{ab}$.
Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$.
$\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a+b) - a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{a^2+ab - (a^2-ab)}{a^2-b^2} = \frac{a^2+ab - a^2+ab}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2}$.
Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:
$\frac{2ab}{a^2-b^2} \cdot \frac{a-b}{ab}$.
Разложим знаменатель $a^2-b^2$ на множители и произведем сокращение:
$\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a-b}{ab} = \frac{2\cancel{ab} \cdot \cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-b)}(a+b) \cdot \cancel{ab}} = \frac{2}{a+b}$.
Ответ: $\frac{2}{a+b}$.

в) Исходное выражение: $\frac{2c}{c-3} - \frac{c^2+c}{4} : \frac{c+1}{8}$.
Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется деление.
$\frac{c^2+c}{4} : \frac{c+1}{8}$.
Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
$\frac{c^2+c}{4} \cdot \frac{8}{c+1}$.
Вынесем в числителе первой дроби $c$ за скобки и сократим выражение:
$\frac{c(c+1)}{4} \cdot \frac{8}{c+1} = \frac{c \cdot \cancel{(c+1)} \cdot \cancel{8}^2}{\cancel{4} \cdot \cancel{(c+1)}} = 2c$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$\frac{2c}{c-3} - 2c$.
Приведем к общему знаменателю $(c-3)$:
$\frac{2c}{c-3} - \frac{2c(c-3)}{c-3} = \frac{2c - 2c(c-3)}{c-3}$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{2c - 2c^2 + 6c}{c-3} = \frac{8c - 2c^2}{c-3}$.
Ответ: $\frac{8c-2c^2}{c-3}$.