Номер 14, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 1. Алгебраические дроби - номер 14, страница 59.

Условие.

14 Упростите выражение:

а) $\frac{a^{-12} \cdot a^6}{a^7}$;

б) $\frac{(3x^{-2})^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-1}}$.

Решение 2.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{a^{-12} \cdot a^6}{a^7}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$a^{-12} \cdot a^6 = a^{-12+6} = a^{-6}$.
После этого шага выражение принимает вид: $\frac{a^{-6}}{a^7}$.
2. Теперь выполним деление. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя, согласно правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{a^{-6}}{a^7} = a^{-6-7} = a^{-13}$.
Ответ: $a^{-13}$

б) Чтобы упростить выражение $\frac{(3x^{-2})^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-1}}$, последовательно применим свойства степеней.
1. Раскроем скобки в числителе. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(ab)^n = a^n b^n$. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(3x^{-2})^{-3} = 3^{-3} \cdot (x^{-2})^{-3} = 3^{-3} \cdot x^{(-2) \cdot (-3)} = 3^{-3}x^6$.
Теперь исходное выражение можно записать как: $\frac{3^{-3}x^6}{3^{-2}x^{-1}}$.
2. Разделим степени с одинаковыми основаниями по отдельности, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Для основания 3: $\frac{3^{-3}}{3^{-2}} = 3^{-3 - (-2)} = 3^{-3+2} = 3^{-1}$.
Для основания x: $\frac{x^6}{x^{-1}} = x^{6 - (-1)} = x^{6+1} = x^7$.
3. Перемножим полученные результаты: $3^{-1} \cdot x^7$.
Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, запишем итоговый результат в виде дроби:
$3^{-1}x^7 = \frac{1}{3} \cdot x^7 = \frac{x^7}{3}$.
Ответ: $\frac{x^7}{3}$