Номер 8, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 1. Алгебраические дроби - номер 8, страница 58.

Условие.

8 Сформулируйте и запишите в буквенном виде правило деления дробей. Примените его к частному $\frac{n}{m^2 + mn} : \frac{n^2}{m^2 - n^2}$.

Решение 2.

Решение 4.

Сформулируйте и запишите в буквенном виде правило деления дробей.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Обратная дробь получается путем замены числителя и знаменателя местами.

В буквенном виде это правило для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ записывается следующим образом:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Здесь предполагается, что знаменатели дробей и числитель делителя не равны нулю, то есть $b \neq 0$, $d \neq 0$ и $c \neq 0$.

Ответ: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Примените его к частному $\frac{n}{m^2 + mn} : \frac{n^2}{m^2 - n^2}$.

Для того чтобы найти частное, применим правило деления дробей: умножим первую дробь на дробь, обратную второй.

$\frac{n}{m^2 + mn} : \frac{n^2}{m^2 - n^2} = \frac{n}{m^2 + mn} \cdot \frac{m^2 - n^2}{n^2}$

Теперь упростим полученное выражение. Для этого разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй.

В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $m$ за скобки: $m^2 + mn = m(m+n)$.

Числитель второй дроби является формулой разности квадратов: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$.

Подставим разложенные выражения обратно в наш пример:

$\frac{n}{m(m+n)} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{n^2}$

Теперь выполним сокращение общих множителей. Сокращаем $(m+n)$ в знаменателе первой дроби и числителе второй. Также сокращаем $n$ в числителе первой дроби и $n^2$ в знаменателе второй (так как $n^2 = n \cdot n$):

$\frac{\cancel{n}}{m\cancel{(m+n)}} \cdot \frac{(m-n)\cancel{(m+n)}}{n \cdot \cancel{n}} = \frac{1}{m} \cdot \frac{m-n}{n}$

Осталось перемножить оставшиеся числители и знаменатели:

$\frac{1 \cdot (m-n)}{m \cdot n} = \frac{m-n}{mn}$

Ответ: $\frac{m-n}{mn}$