Номер 2, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 1. Алгебраические дроби - номер 2, страница 57.

Условие.

2 Сформулируйте основное свойство дроби. Примените его для приведения дроби $\frac{a}{a+b}$ к знаменателю $ab+b^2$.

Решение 2.

Решение 4.

Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число или выражение, то получится дробь, равная данной.
Математически это можно записать так:
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ и $\frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c}$, при условии, что $b \neq 0$ и $c \neq 0$.

Применим основное свойство дроби, чтобы привести дробь $\frac{a}{a+b}$ к знаменателю $ab + b^2$.
1. Для начала, найдем дополнительный множитель. Для этого разложим новый знаменатель $ab + b^2$ на множители. Общий множитель здесь $b$, вынесем его за скобки:
$ab + b^2 = b \cdot a + b \cdot b = b(a+b)$.
2. Теперь сравним исходный знаменатель $(a+b)$ и новый знаменатель $b(a+b)$. Чтобы из исходного знаменателя получить новый, его необходимо умножить на выражение $b$. Это и есть дополнительный множитель.
3. Согласно основному свойству дроби, чтобы значение дроби не изменилось, мы должны умножить на этот дополнительный множитель ($b$) и числитель, и знаменатель исходной дроби:
$\frac{a}{a+b} = \frac{a \cdot b}{(a+b) \cdot b} = \frac{ab}{ab + b^2}$
Это преобразование верно при условии, что исходный знаменатель и дополнительный множитель не равны нулю, то есть $a+b \neq 0$ и $b \neq 0$.
Ответ: $\frac{ab}{ab + b^2}$