Номер 1.197, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.197, страница 57.

Условие.

1.197 При каких натуральных значениях n можно сократить дробь:

a) $ \frac{3n+1}{10} $;

б) $ \frac{5n+3}{4} $;

в) $ \frac{4n+2}{5} $?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дробь $ \frac{3n+1}{10} $ можно сократить, если ее числитель $3n+1$ и знаменатель 10 имеют общий делитель, больший 1. Простые делители числа 10 — это 2 и 5. Следовательно, дробь будет сократима, если $3n+1$ делится на 2 или на 5.

1. Делимость на 2. Выражение $3n+1$ делится на 2, если оно является четным. Так как 1 — нечетное число, то для четности суммы $3n+1$ необходимо, чтобы слагаемое $3n$ было нечетным. Произведение $3n$ нечетно тогда и только тогда, когда оба множителя нечетны. Следовательно, $n$ должно быть нечетным натуральным числом.

2. Делимость на 5. Выражение $3n+1$ делится на 5, если $3n+1 \equiv 0 \pmod{5}$. Это равносильно сравнению $3n \equiv -1 \pmod{5}$ или $3n \equiv 4 \pmod{5}$. Умножив обе части на 2 (число, обратное к 3 по модулю 5, так как $2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$), получим $6n \equiv 8 \pmod{5}$, откуда $n \equiv 3 \pmod{5}$. Это означает, что $n$ при делении на 5 должно давать в остатке 3.

Таким образом, дробь можно сократить, если $n$ является нечетным числом, либо если $n$ при делении на 5 дает в остатке 3. Это условие можно выразить через последнюю цифру числа $n$:

• если $n$ нечетное, его последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9.
• если $n$ дает остаток 3 при делении на 5, его последняя цифра — 3 или 8.

Объединяя эти условия, получаем, что последняя цифра $n$ может быть 1, 3, 5, 7, 8 или 9. Другими словами, дробь сократима, если $n$ не оканчивается на 0, 2, 4 или 6.

Ответ: $n$ — любое натуральное число, которое не оканчивается на 0, 2, 4 или 6.

б)

Дробь $ \frac{5n+3}{4} $ можно сократить, если ее числитель $5n+3$ и знаменатель 4 имеют общий делитель, больший 1. Делители числа 4 — это 2 и 4. Значит, дробь сократима, если числитель $5n+3$ делится хотя бы на 2, то есть является четным числом.

Рассмотрим выражение $5n+3$. Число 3 является нечетным. Сумма $5n+3$ будет четной тогда и только тогда, когда слагаемое $5n$ также является нечетным. Произведение $5n$ нечетно в том и только в том случае, если оба множителя (5 и $n$) нечетны. Так как 5 — нечетное число, то $n$ также должно быть нечетным.

Следовательно, для того чтобы дробь можно было сократить, $n$ должно быть любым нечетным натуральным числом. Такие числа можно записать в виде $n=2k-1$ для любого натурального $k$.

Ответ: $n$ — любое нечетное натуральное число.

в)

Дробь $ \frac{4n+2}{5} $ можно сократить, если ее числитель $4n+2$ и знаменатель 5 имеют общий делитель, больший 1. Поскольку знаменатель 5 — это простое число, дробь сократима тогда и только тогда, когда числитель $4n+2$ делится на 5.

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки: $4n+2=2(2n+1)$. Дробь примет вид $ \frac{2(2n+1)}{5} $. Так как числа 2 и 5 взаимно просты, для сократимости дроби необходимо, чтобы выражение $2n+1$ делилось на 5.

Запишем это условие в виде сравнения по модулю 5: $2n+1 \equiv 0 \pmod{5}$.

Перенесем 1 в правую часть: $2n \equiv -1 \pmod{5}$.

Так как $-1 \equiv 4 \pmod{5}$, получаем $2n \equiv 4 \pmod{5}$.

Разделив обе части на 2 (что допустимо, так как 2 и 5 взаимно просты), находим: $n \equiv 2 \pmod{5}$.

Это означает, что дробь можно сократить при всех натуральных $n$, которые при делении на 5 дают в остатке 2. Такие числа можно записать формулой $n = 5k+2$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$).

Ответ: $n$ — любое натуральное число вида $n = 5k+2$, где $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$ (то есть числа, дающие остаток 2 при делении на 5, например: 2, 7, 12, ...).