Номер 1.190, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.190, страница 56.

Условие.

1.190 Выполнив деление уголком, представьте данную дробь в виде суммы многочлена и «правильной» дроби:

а) $\frac{3n^2 - 10n - 3}{n - 4}$;

б) $\frac{n^3 + n^2 - n + 5}{n + 2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для того чтобы представить дробь $\frac{3n^2-10n-3}{n-4}$ в виде суммы многочлена и правильной дроби, необходимо выполнить деление многочлена, стоящего в числителе, на многочлен в знаменателе. Будем использовать метод деления столбиком (уголком).

1. Делим старший член делимого ($3n^2$) на старший член делителя ($n$): $\frac{3n^2}{n} = 3n$. Это первый член частного.

2. Умножаем полученный член частного ($3n$) на делитель ($n-4$): $3n \cdot (n-4) = 3n^2 - 12n$.

3. Вычитаем результат из делимого: $(3n^2-10n-3) - (3n^2-12n) = 3n^2 - 10n - 3 - 3n^2 + 12n = 2n-3$.

4. Теперь делим старший член полученного остатка ($2n$) на старший член делителя ($n$): $\frac{2n}{n} = 2$. Это второй член частного.

5. Умножаем второй член частного ($2$) на делитель ($n-4$): $2 \cdot (n-4) = 2n-8$.

6. Вычитаем результат из предыдущего остатка: $(2n-3) - (2n-8) = 2n - 3 - 2n + 8 = 5$.

Степень остатка ($0$) меньше степени делителя ($1$), поэтому деление завершено. В результате деления мы получили неполное частное (многочлен) $3n+2$ и остаток $5$.

Следовательно, исходную дробь можно записать в виде:

$\frac{3n^2-10n-3}{n-4} = 3n+2 + \frac{5}{n-4}$

Ответ: $3n+2 + \frac{5}{n-4}$

б)

Аналогично, для дроби $\frac{n^3+n^2-n+5}{n+2}$ выполним деление многочлена $n^3+n^2-n+5$ на $n+2$ столбиком.

1. Делим $n^3$ на $n$, получаем $n^2$. Умножаем $n^2$ на $(n+2)$: $n^2(n+2) = n^3+2n^2$. Вычитаем из делимого: $(n^3+n^2-n+5) - (n^3+2n^2) = -n^2-n+5$.

2. Делим старший член нового выражения ($-n^2$) на $n$, получаем $-n$. Умножаем $-n$ на $(n+2)$: $-n(n+2) = -n^2-2n$. Вычитаем из $(-n^2-n+5)$: $(-n^2-n+5) - (-n^2-2n) = -n^2-n+5+n^2+2n = n+5$.

3. Делим старший член нового выражения ($n$) на $n$, получаем $1$. Умножаем $1$ на $(n+2)$: $1(n+2) = n+2$. Вычитаем из $(n+5)$: $(n+5) - (n+2) = n+5-n-2=3$.

Деление завершено. Неполное частное (многочлен) равно $n^2-n+1$, а остаток равен $3$.

Таким образом, исходную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби:

$\frac{n^3+n^2-n+5}{n+2} = n^2-n+1 + \frac{3}{n+2}$

Ответ: $n^2-n+1 + \frac{3}{n+2}$