Номер 1.194, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.194, страница 56.

Условие.

1.194 При каких натуральных значениях n можно сократить дробь:

a) $\frac{5}{n+3}$;

б) $\frac{7}{n+2}$;

в) $\frac{n+1}{10}$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дробь $\frac{5}{n+3}$ можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, который больше 1.

Числитель дроби равен 5. Число 5 является простым, его натуральные делители — это 1 и 5.

Следовательно, для того чтобы дробь была сократимой, знаменатель $n+3$ должен делиться на 5. То есть, $n+3$ должно быть кратно 5.

Запишем это условие в виде уравнения: $n+3 = 5k$, где $k$ — целое число.

По условию задачи, $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$. Это означает, что $n+3 \ge 1+3$, то есть $n+3 \ge 4$.

Из условия $n+3 = 5k$ следует, что $5k \ge 4$. Так как $k$ — целое число, его наименьшее возможное значение равно 1. Таким образом, $k$ может быть любым натуральным числом ($k \in \mathbb{N}$).

Выразим $n$ через $k$: $n = 5k - 3$.

Это означает, что дробь можно сократить при всех натуральных значениях $n$, которые можно представить в виде $n = 5k - 3$, где $k$ — любое натуральное число. Например, при $k=1, n=2$; при $k=2, n=7$; при $k=3, n=12$ и так далее.

Ответ: при всех натуральных $n$ вида $5k - 3$, где $k \in \mathbb{N}$.

б) Дробь $\frac{7}{n+2}$ можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, который больше 1.

Числитель дроби равен 7. Число 7 является простым, его натуральные делители — это 1 и 7.

Следовательно, для сокращения дроби знаменатель $n+2$ должен делиться на 7.

Запишем это условие: $n+2 = 7k$, где $k$ — целое число.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n+2 \ge 1+2=3$.

Из условия $n+2 = 7k$ следует, что $7k \ge 3$. Так как $k$ — целое число, его наименьшее возможное значение равно 1. Таким образом, $k$ может быть любым натуральным числом ($k \in \mathbb{N}$).

Выразим $n$ через $k$: $n = 7k - 2$.

Это означает, что дробь можно сократить при всех натуральных значениях $n$, которые можно представить в виде $n = 7k - 2$, где $k$ — любое натуральное число. Например, при $k=1, n=5$; при $k=2, n=12$; при $k=3, n=19$ и так далее.

Ответ: при всех натуральных $n$ вида $7k - 2$, где $k \in \mathbb{N}$.

в) Дробь $\frac{n+1}{10}$ можно сократить, если ее числитель $n+1$ и знаменатель 10 имеют общий делитель, который больше 1.

Знаменатель дроби равен 10. Разложим его на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$.

Дробь будет сократимой, если числитель $n+1$ имеет общий делитель с числом 10, то есть если $n+1$ делится на 2 или на 5.

Рассмотрим два случая:

1. Числитель $n+1$ делится на 2. Это означает, что $n+1$ — четное число. Это возможно тогда и только тогда, когда $n$ — нечетное число. Таким образом, все нечетные натуральные значения $n$ ($1, 3, 5, 7, ...$) являются решением.

2. Числитель $n+1$ делится на 5. Это означает, что $n+1 = 5k$ для некоторого натурального числа $k$ (так как $n \ge 1 \implies n+1 \ge 2$). Отсюда $n = 5k-1$, где $k \in \mathbb{N}$. Это числа: 4, 9, 14, 19, 24, ...

Чтобы найти все значения $n$, при которых дробь сократима, нужно объединить оба случая. Это все нечетные натуральные числа, а также все натуральные числа вида $n=5k-1$.

Числа вида $n=5k-1$ могут быть нечетными (например, 9, 19) или четными (например, 4, 14). Нечетные числа из этого множества уже входят в первую группу (все нечетные $n$).

Четные числа вида $n=5k-1$ — это числа, которые оканчиваются на 4 (например, 4, 14, 24, ...). При таких $n$ числитель $n+1$ будет оканчиваться на 5, а значит, будет делиться на 5.

Таким образом, дробь можно сократить, если $n$ является нечетным числом или если $n$ — это натуральное число, оканчивающееся на 4.

Ответ: при всех нечетных натуральных значениях $n$, а также при всех натуральных значениях $n$, которые оканчиваются на цифру 4.